5. Негэнтропия, требуемая при наблюдении

Нам предстоит рассмотреть первый этап и подсчитать количество негэнтропии, требуемое для получения информации.

Для того чтобы знать, попадет ли молекула в дверцу на протяжении некоторого интервала времени , мы должны использовать последовательность импульсов излучения, длительностью т. Если молекула отсутствует, излучение проходит через прибор (см. рис. 13.1) без поглощения и энтропия не возрастает. Если имеется молекула (одна или более), излучение рассеивается и поглощается фотоэлементом. При этом энтропия возрастает на , если — температура системы, а Е — поглощенная энергия.

Рис. 13.2. Прямоугольные импульсы длительностью , повторяемые через интервалы .

Мы приняли (см. (13.19)), что среднее число молекул, попадающих в дверцу за время , равно и, и нашли вероятность (одного или более) попадания за это время (см. (13.22)). Это означает, что существует средний интервал между молекулами (или группами молекул)

Это есть средний интервал между последовательными моментами открывания дверцы. Фотоэлементом будет зарегистрирована последовательность импульсов длительностью со средним интервалом как показано на рис. 13.2.

Сколько квантов нам требуется, и какова должна быть их величина для точной регистрации?

Одиночный импульс представляется интегралом Фурье (см. (8.25)-(8.28)) с непрерывным спектром, занимающим эффективную полосу до частоты

(13.32)

Таким образом, импульс имеет бесконечное число составляющих и, следовательно, бесконечную энергию).

Иное положение имеем для последовательности импульсов, повторяемых (в среднем) через интервал .

Рис. 13.3. а) непрерывный спектр одиночного импульса; b) дискретный спектр периодической последовательности импульсов. Огибающая совпадает с кривой непрерывного спектра.

Рассмотрим задачу в том упрощающем предположении, что интервал повторения есть в точности что делает процесс периодическим с периодом Такая последовательность импульсов может быть разложена в ряд Фурье с дискретным спектром, содержащим только определенные частоты, как показано на рис. 13.3. Эти частоты равны вплоть до , где

Наибольшая частота должна быть достаточно высока, чтобы можно было построить короткие импульсы длительностью . Из этого условия вытекает ограничение, сходное с (13.32), или приблизительно

Здесь нужно заметить, что наша упрощенная периодическая модель применима лишь до тех пор, пока больше так что пауза не короче импульса . В общей сложности мы получаем составляющих (включая нулевую частоту)

(13.34а)

Рассмотрим пример, положив амплитуду для нулевой частоты равной и равной А для всех остальных частот. Положим, далее, что каждая гармоника имеет только косинусную составляющую. Получим сигнал вида

(13.35)

в соответствии с тождеством Лагранжа, которым мы уже пользовались (см. (8.61)), где

Мы получили, таким образом, последовательность сглаженных (уже не прямоугольных) импульсов, показанных на рис. 13.4. Их форма выражается равенством (13.35) с максимальным значением при и с нулями по обе стороны при

Полный промежуток времени между двумя первыми нулями

есть но эффективная или номинальная длительность (см. главу 8, разделы 4 и 5) импульса соответствует приблизительно половине этого интервала. Итак, мы принимаем определение

— соотношение, заменяющее наше приближенное условие (13.34 а). Период повторения импульсов есть

Рис. 13.4. Последовательность сглаженных импульсов эффективной длительности , повторяемых с интервалами (см. (13.35)), и соответствующий спектр.

Подсчитаем среднюю энергию для последовательности импульсов с помощью равенства Парсеваля (см. (8.12)):

Составляющая нулевой частоты в (13.35) дает слагаемое, пропорциональное ее квадрату, тогда как члены дают каждый. Средняя мощность (энергия в секунду) последовательности импульсов выражается как , где значение численного множителя b зависит от выбора системы единиц:

(13.37)

Почти вся энергия сосредоточена в коротких импульсах . Это легко проверить: наибольшее значение при соответствует согласно (13.37) пиковой мощности

и из (13.36) находим:

(13.37а)

что доказывает, что энергия в импульсе равна полной энергии за время

Теперь мы должны исследовать тепловое возбуждение в различных степенях свободы, и мы предположим сперва, что все частоты сравнительно низки, т. е.

где Т — температура системы. Мы имеем (см. (13.34)) степеней свободы на интервал что согласуется с рассуждением главы 8 (см. (8.57)). Составляющая нулевой частоты имеет среднюю энергию , а и колебательных членов имеют среднюю энергию kT каждый. В общем, средняя тепловая энергия за интервал равна

(13.38)

в соответствии с (13.36). Эта энергия равномерно распределена по промежутку .

Вероятность поглощения света фотоэлементами пропорциональна энергии, имеющейся на протяжении каждого интервала: на протяжении импульса ее величина согласно (13.37а) и (13.38) составляет:

На протяжении паузы мы имеем:

Это слагаемое дает ложное поглощение, приводящее к нежелательному нерегулярному открыванию дверцы. Для уменьшения такого рода ошибок в работе системы положим:

(13.39)

откуда

Так как а велико, а мало, это условие сводится к

и выражает энергию излучения, поглощенную фотоэлементом за время . Средняя энергия, поглощенная за время , есть и соответствующее среднее увеличение энтропии на интервал составляет:

(13.41)

Все сделанные приближения основаны на предположении

Мы можем теперь обсудить эффективность на первом этапе действия демона, когда негэнтропия превращается в информацию. Пользуясь (13.18) и (13.24) для информации на интервал , получаем эффективность

Это выражение справедливо только для очень малых значений и. Случай, когда и близко к единице, труден для исследования. Возможно, что в этой области значений эффективность выше. Для меньших значений и эффективность уменьшается.

Подытоживая результаты, мы видим, что

— эффективность на первом этапе — получается наибольшей при ,

— эффективность на втором этапе — получается наибольшей при очень малых .

Подсчитаем общую эффективность; с помощью (13.28) и (13.42) имеем:

Как и в (13.29), берем

и находим:

(13.44)

так как оптимальное значение есть 1/2. Последнее выражение имеет при максимум, равный ; это — небольшая величина, для которой все наши приближения действительны:

Общая эффективность падает до нуля при (равные давления в В и С), а также при очень большом (высокое давление в С). Мы показали, таким образом, что общая эффективность всегда меньше единицы и что как , так и также меньше единицы, даже при весьма искусственных условиях, когда отношение давлений велико.