7. Видоизмененная формула Гэйбора и роль биений

Гэйбор) после обсуждения системы ячеек, описанной в главе 8, обстоятельно исследовал вопрос о том, какие уровни энергии могут быть использованы в каждой ячейке для представления различимых сигналов. Рассуждение Гэйбора основано на квантовой теории, но во всех практических приложениях кванты настолько малы, что может применяться классическая теория. Сделав это, можно убедиться, что новые

члены в формуле Гэйбора соответствуют биениям между сигналом и шумом. Эти биения увеличивают флуктуации энергии. Если наложить на сигнал с амплитудой шум с амплитудой и переменной фазой то получим:

Полагая, что и меняются медленно, усредним это соотношение по нескольким периодам:

За такой сравнительно малый промежуток времени мощность равна

Среднее по большому промежутку времени будет содержать только первые два члена, так как в среднем равен нулю:

Последний член в (17.53) представляет биения между сигналом и шумом. Они оказывают существенное влияние на флуктуации мощности :

так как для теплового шума

Из (17.55) видно, что флуктуации возрастают с увеличением мощности сигнала

Эти результаты можно использовать для вычисления числа различимых уровней энергии. Для согласования с формулой Шеннона (см. (17.32)) выберем ступени . Это вдвое больше ступеней, первоначально предложенных Гэйбором.

Пусть есть наибольшая мощность, применяемая при передаче сигналов. Число ступеней (включая Р = 0) есть

Для малых отношений число та сводится к совпадает с (17.35). Для больших отношений сигнал/шум значение та растет с увеличением медленнее, чем в (17.35), что соответствует формуле Шеннона.

В соответствии с экспериментальными условиями наблюдения нужно выяснить, имеют ли значение дополнительные флуктуации, обусловленные биениями. Это обсуждение покажет, пользоваться ли формулой Шеннона или формулой Гэйбора. Формула Гэйбора (17.56) приводит к следующему выражению для пропускной способности канала:

где — наибольшая мощность сигналов. Это соотношение получено из (17.34) с гэйборовым значением та. Если время велико, то среднее обращается в нуль и биениями можно пренебречь, что и оправдывает применение формулы Шеннона в качестве предельной.