Главная > Наука и теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Информация, содержащаяся в совокупности символов с различными априорными вероятностями

Предположим, что мы применяем М различных символов , которые имеют априорные вероятности соответственно. Никаких других условий или ограничений относительно применения этих символов не накладывается. Мы желаем вывести шенноново равенство (1.12), согласно которому последовательность из символов содержит информацию

где i — средняя информация на символ и

Начнем с простой задачи, которую затем легко обобщить. Рассмотрим алфавит из двух «букв» — точки и тире, как в телеграфии, или 0 и 1. Рассмотрим G позиций (cells — ячеек), и пусть позиций содержат содержат 1, так что . Таким образом, все позиции заполнены. Тогда вероятность позиции, содержащей 0, будет

и вероятность того, что позиция содержит 1, есть

причем

так как вероятность того, что в некоторой позиции содержится либо 0, либо 1, равна единице.

Теперь найдем число способов заполнения каждой из G позиций либо 0, либо 1 (но никоим образом не обоими символами одновременно). Эта задача в точности та же, что в статистике Ферми. Число способов заполнения G позиций равно числу способов заполнения позиций нулями, так как, если мы уже распределили нулей, то остальные позиций должны содержать по единице каждая. Но число способов заполнения позиций нулями равно числу перестановок (с повторяющимися элементами) из G по :

Это есть число сообщений из G символов двухбуквенного алфавита, один из которых встречается раз, а другой — раз. Для одного из таких сообщений согласно (1.1) информация равна

Если сообщение длинно и и достаточно велики, то логарифмы факториалов могут быть выражены приближенно на основании формулы Стирлинга:

Эта формула дает, как известно, очень хорошее приближение для . Итак, если , то

или, учитывая, что

Снова применяя равенство перепишем (1.20) в виде

Подставляя (1.14) и (1.15) и деля на G, получаем:

где i — информация на символ сообщения. Это и есть формула Шеннона для случая двух символов. Заметим, что меньше единицы, их логарифмы отрицательны, а потому формула (1.22) дает положительное значение для .

Обобщение на случай более чем двух символов получается легко. Обозначим через числа символов М различных типов и выберем число позиций

Определим вероятность j-го символа

Имеем:

Общее число сообщений Р, которые можно получить, распределяя символы случайным образом по G позициям (так чтобы на одной позиции никогда не оказывалось более одного символа), составляет:

Формула (1.26) является прямым обобщением (1.17). Мы получаем для информации, содержащейся в одном из сообщений:

Равенства в этом выражении соответствуют (1.18), (1.19) и (1.20), полагая по-прежнему, что G и достаточно велики, так что применима формула Стирлинга. Метод, при помощи которого получены (1.21) и (1.22), дает теперь:

а это и есть формула Шеннона.

В качестве примера рассмотрим сообщение из 10 000 букв 27-буквенного алфавита, выбранных, случайным образом с

одинаковыми априорными вероятностями. Тогда

и

Если, однако, мы составим сообщение такой же длины, но выберем буквы в соответствии с их действительными априорными вероятностями, то нужно воспользоваться (1.28):

Последнее значение легко подсчитать по данным таблицы 1.1.

Более подробный анализ структуры языка будет дан в следующих разделах. Будет показано, что вышеприведенное значение представляет собой верхнюю грань и что действительное количество информации на одну букву много меньше 4, вероятно, между 1 и 2 дв. ед. на букву.

1
Оглавление
email@scask.ru