Приложение

Однородное линейное уравнение в конечных разностях с постоянными коэффициентами может быть записано в виде)

где р — постоянные. Это уравнение линейно по отношению к неизвестной функции изменяется, получая единичные приращения. Уравнение имеет n частных решений являющихся независимыми, если между ними

нет линейных соотношений. Эти решения можно найти, положив

Подстановка в дает:

и мы получаем решение (А.1), если р есть решение характеристического уравнения (А.3). Пусть корни обозначены ; все корни предполагаются различными. Можно показать, что эти решения независимы, и общее решение есть

где произвольных коэффициентов. Для случая кратного корня степени v нужно взять в качестве независимых решений величины

Можно также рассмотреть уравнения с правой частью. Задача состоит в нахождении корней алгебраического уравнения Напомним основные свойства алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами

A. Если имеют противоположные знаки, то имеется по меньшей мере один корень между и р. Число таких корней нечетно.

B. Правило Декарта, Число положительных вещественных корней уравнения либо равно числу перемен знака , либо меньше этого числа на положительное четное целое. Число отрицательных вещественных корней аналогичным образом связано с .

Полное число корней равно n. Если имеется комплексный корень , то комплексно-сопряженное число также является корнем.