3. Дробовой эффект

Мы можем применить формулу случайного блуждания к исследованию шума ламп (дробовой эффект) и радиоактивных превращений. При радиоактивном превращении вещество эмитирует (испускает) частицы со средней скоростью N частиц в секунду. Это есть эмиссия дискретных частиц без корреляции между следующими друг за другом частицами.

Действительная эмиссия может быть записана в виде

(10.12)

где v есть поправка к средней эмиссии, соответствующая шуму. Это описание близко соответствует электронной эмиссии горячего катода, и поэтому такого же типа шум мы имеем в электронной лампе. Эмиссия как функция времени показана на рис. 10.4.

Прежде всего, нужно показать, как свести это к задаче о случайном блуждании. Это можно сделать различными способами в зависимости от действительных условий эмиссии.

Рис. 10.4. Эмиссия как функция времени есть ступенчатая функция. Средняя эмиссия представляется прямой. «Ступеньки» соответствуют члену в (10.12).

Рис. 10.5. Ступенчатая функция рис. 10.4 с интервалом 6, выбранным так, что на протяжении 0 вероятность испускания частицы равна

Начнем с очень простой задачи, соответствующей следующим предположениям: существует временной интервал 0 настолько малый, что на протяжении этого интервала возможны два равновероятных события — либо частица испускается, либо нет (рис. 10.5). Таким образом, на протяжении этого интервала изменение эмиссии есть

(10.13)

откуда следует, что

и что

Так, если взять , то мы сводим задачу к постоянному нарастанию , на которое наложено случайное блуждание. Средний квадрат флуктуации по-прежнему выражается как

(10.14)

где n выражает полное время . На протяжении этого промежутка времени t средняя эмиссия равна

откуда

(10.15)

Средний квадрат флуктуации в рассматриваемом случае равен половине среднего числа эмитированных частиц.

Более важная и более близкая к действительности физическая задача получается при иных предположениях, соответствующих полностью случайной эмиссии. Мы выбираем очень малый временной интервал и предполагаем, что на протяжении этого интервала приращение эмиссии есть

Интервал настолько мал, что эмиссия двух, трех и более частиц считается невозможной. Средняя скорость эмиссии есть . Условие может быть записано в следующем виде:

Мы разделили здесь среднее нарастание и флуктуации, приводящие к задаче о случайном блуждании

Это есть случай неравных шагов, и мы применяем соответствующую формулу (10.11). Средний квадрат длины шага

равен

или, так как очень мало,

Из этого соотношения и (10.11) получаем средний квадрат флуктуации на всем промежутке t, на протяжении которого средняя эмиссия есть

Средний квадрат флуктуации в случае полностью случайной эмиссии в точности равен среднему числу эмитированных частиц.