8. Несколько примеров

Приведем несколько примеров коэффициентов передачи, соответствующих некоторым типичным вычислительным задачам.

А. Вычислительная машина как интегратор

В этом случае отклик должен представлять определенный интеграл от входного воздействия так что можем записать:

Последние выражения получаются итерацией равенства между первыми двумя. Коэффициент передачи выражается формулой (19.40) или (19.58)

и задача состоит в нахождении . Для этого воспользуемся приближенным методом вычисления интеграла в (19.60) совместно с (19.30):

где . Мы дадим результаты вычисления интеграла при помощи ступенчатой функции, по правилу трапеций и по правилу и правилу Симпсона.

Ступенчатая функция. Мы находим приближенное значение интеграла в (19.60), заменяя ступенчатой функцией и вычисляя площади получаемых прямоугольников шириной 0 и с высотами :

Сравнение с (19.62) дает:

и, следовательно, на основании (19.61) коэффициент передачи равен

Правило трапеций. Применение этого правила при дает:

откуда с помощью (19.62)

Таким образом, коэффициент передачи есть

Правило Симпсона. Мы должны взять в (19.60):

откуда

и коэффициент передачи равен

Правило Симпсона. Аналогично, беря , полу чаем:

В. Вычислительная машина как дифференциатор

Теперь отклик должен представлять производную входного воздействия . Так как дифференцирование есть операция, обратная интегрированию, коэффициент передачи идеального дифференциатора должен быть обратным по отношению к коэффициенту передачи идеального интегратора.

Рис. 19.7. Кривые, показывающие неустойчивость программы дифференцирования, соответствующей как в плоскости Q*, так и в плоскости r. Q* означает знаменатель функции передачи (числитель соответствующего W). Отметнм, что обе траектории охватывают начало координат плоскости

Это значит, что могут годиться в качестве программ дифференцирования. Оказывается, однако, что только устойчивы, тогда как неустойчивы. Положение показано на рис. 19.7, взятом из работы Зальцера. Изображены полюсы на плоскости z и форма траектории на плоскости

С. Восстановление (desampling)

Процесс восстановления может быть выполнен путем замены импульсов Линвилла снова импульсами Шеннона или очень тщательной отфильтровкой всех частот v Первый способ не вызывает ни фазовых сдвигов, ни изменений интенсивности

при и, таким образом, дает коэффициент передачи, равный 1. Второй способ требует нулевой интенсивности при следовательно, дает W = 0 для этого диапазона частот. Это едва ли осуществимо.

Большинство фильтров обеспечивает в полосе прозрачности хорошую передачу по интенсивности, но дает фазовый сдвиг. Это не имеет значения для телефонной передачи, так как ухо малочувствительно к фазе. Однако при восстановлении функции фаза существенна, и поэтому построение фильтров, предназначенных для восстановления, отличается от построения обычных фильтров.

D. Временные задержки

Если мы применяем импульсы вида в предположении, что функция постоянна при больших х, мы должны вычислить:

Это выражение сходится очень медленно. Если мы желаем иметь ошибку, не превосходящую в окончательном результате, то нам потребуется членов. Это большое число членов вызывает задержку, так как функция в момент t будет с требуемой точностью известна лишь на N членов позднее, что означает задержку на .