10. Линейные преобразования и фильтры

Мощный метод исследования функций основан на линейных преобразованиях. Рассмотрим функцию и ее интеграл

Фурье

и функцию преобразования

достаточно быстро убывающую. Преобразованная функция определяется как

и может быть представлена интегралом Фурье

где

(Здесь использовано (8.91) и положено Интегралы равны соответственно и , так что

Таким образом, применение функции преобразования эквивалентно фильтрации при помощи фильтра с передаточной функцией . Лабруст и Леви рассмотрели ряд функций преобразования, позволяющих выделить синусоидальные составляющие из сложных кривых, полученных путем эксперимента. Различные импульсы например, дают передаточные функции, соответствующие их спектрам, и могут применяться для преобразования. Функция (8.91) есть просто взаимная корреляция между функциями . Когда совпадает с , мы получаем автокорреляцию функции и равенства (8.91) и (8.93) сходны с (8.77) и (8.79).

Чтобы показать связь между результатами различных разделов этой главы, рассмотрим пример. Предположим, что мы рассматриваем экспериментальную кривую f(t), относительно которой известно, что частоты выше некоторой записаны не очень надежно. Устраним, прежде всего, эти частоты, что можно сделать при помощи преобразования (8.91) с функцией

преобразования (8.26); нужно вычислить

Функция

Преобразование представляет идеальный фильтр нижних частот и подавляет все высокие частоты. Оно сглаживает экспериментальную кривую и устраняет острые углы и разрывы, которые могут быть сомнительными. Новая функция имеет отчетливую границу при

Если наблюдение велось за время , функция содержит только

степеней свободы (см. (8.51)). Мы рассматриваем ее как функцию одиночного сообщения (раздел 6, В) и применяем метод отсчетов Шеннона (раздел 7) с интервалом отсчетов (8.68):

Операция отсчитывания заменяет непрерывную кривую последовательностью импульсов с отсчитанными амплитудами . Последовательность импульсов имеет теперь бесконечно протяженный спектр, как указано в разделе 1 (см. (8.9), (8.11) и рис. 8.1). Спектр состоит из исходного спектра , повторяемого периодически вдоль шкалы частот с периодом .

Отсчеты могут передаваться по системе связи одним из методов современной импульсной техники. Эти отсчеты воспроизводятся на приемной станции, и задача состоит в восстановлении непрерывной кривой . Это можно сделать электрическим путем при помощи полосового фильтра, выделяющего одну из одинаковых частотных полос рис. 8.1. То же самое можно сделать и путем вычисления суммы (8.70):

(8.94а)

что снова соответствует математическому описанию действия идеального фильтра нижних частот. Для вычисления функции в момент t нам нужны в принципе все отсчеты до и после t. Если мы хотим восстановить с точностью до мы должны располагать по меньшей мере членами до и после момента t, так как члены разложения убывают очень медленно, всего лишь как или вычисление вышеприведенной суммы является, по-видимому, наилучшим путем к восстановлению кривой, если требуется высокая точность.