3. Пропускная способность канала с шумом

Данный невозмущенный сигнал представляется некоторой точкой М в многомерном пространстве . При наличии шума точка будет смещена на некоторое расстояние в пределах сферы с центром в М. Радиус этой сферы равен , где — средняя энергия шума. Вследствие неопределенности шума мы не знаем, где окажется новая точка М. Поэтому мы не должны применять другой сигнал, представляемый точкой, расположенной слишком близко к точке М, Задача состоит в том, чтобы подсчитать точно, сколько точек может быть надежно отличено друг от друга, или, другими словами, сколько различных сообщений может быть распознано при наличии шума.

Начнем с простого рассуждения, которое позднее мы рассмотрим более тщательно. Полная энергия есть сумма энергии Е сигнала и средней энергии шума. Согласно (17.9) эта сумма определяет гиперсферу радиуса

для сигнала вместе с шумом. Сигнал является центром малой сферы радиуса

и мы должны принять, что шум, добавленный к данному сигналу, затемняет сферу радиуса r вокруг точки М, изображающей собственно сигнал. Ставится вопрос: сколько таких малых сфер радиуса r может содержаться в большой сфере радиуса R? Разумеется, верхним пределом этого числа является отношение объемов

где Р и — средние мощности сигнала и шума соответственно .

Мы определяем в (4.3) пропускную способность как предел

где есть полное число различимых сообщений длительностью , которые можно передать по каналу.

Сравнивая (17.13) и (17.4), получаем:

Но N дано равенством (17.3), откуда

где К — постоянная, зависящая от выбора единиц, — верхняя граничная частота полосы, Р — средняя мощность сигнала, — средняя мощность шума. Равенство (17.15) известно как формула Хартли — Таллера — Шеннона.