4. Пределы евклидовой геометрии

Рассмотрим фундаментальные трудности, связанные с измерением чрезвычайно малых расстояний, и общие ограничения, которые эти трудности накладывают на физические определения. Для измерения длины L с погрешностью необходимо применить излучение с длиной волны

Мы тщательно обсудили это условие в главе 15 и сравнили различные методы измерения; было найдено, что в отдельных

случаях могут применяться длинные волны, по что их энергетическая или иегэнтропийная цена много выше, чем для коротких волн. Малая длина волны X (см. (16.12)) соответствует большому импульсу

и это излучение будет взаимодействовать с наблюдаемой системой и сообщать ей изменение импульса , которое может лежать в пределах от — р до +р, и, следовательно,

что представляет собой обычное соотношение неопределенности.

Новое обстоятельство, которое следует подчеркнуть, состоит в том, что большой импульс р всегда связан с большой энергией, и в соответствии с этим измерение длины с очень малой погрешностью требует всегда большого расхода энергии.

Предположим сначала, что мы применяем электромагнитное излучение. Случай измерений другого рода рассматривается в следующем разделе. Если мы применяем свет, то длина волны соответствует кванту

Наименьшее количество энергии , с помощью которого мы можем выполнить эксперимент, равно и, следовательно,

Не существует точной границы для малых расстояний или длин, которые могут быть измерены, но количество энергии, требуемой для эксперимента, растет как и быстро становится огромным препятствием для измерений.

Эксперименты, выполняемые в условиях случая В, разумеется, сильно возмущают наблюдаемую систему. Должны применяться очень высокие частоты, а это вызывает большие импульсы отдачи, образование пар и т. д.

Эти замечания ясно показывают, что действительная стоимость оборудования и аппаратуры ядерных исследований находится в соответствии с высокой энергетической ценой. Наконец, стоимость эксплуатации большого циклотрона или синхроциклотрона пропорциональна большой энергии, требуемой для каждого наблюдения и рассеиваемой в мишени).

Математики могут определять бесконечно малые расстояния, но это есть абстракция, соответствующая невозможным физическим условиям. Рассмотрим, например, некоторую лабораторию с определенным ограниченным запасом энергии. Если вся эта энергия необходима для измерения некоторого расстояния, то это расстояние есть наименьшее расстояние, которое может быть измерено в данной лаборатории.

Часто высказывалось мнение, что можно было бы избежать многих трудностей квантовой теории путем введения своего рода наименьшей длины. Фиксированная наименьшая длина едва ли могла бы быть обоснована в свете предыдущих замечаний. Мы не решились распространить пример лаборатории с ограниченным запасом энергии на всю вселенную, так как дать точные определения ее протяженности и вместимости нельзя. Тем не менее мы можем сказать, что измерения все более коротких расстояний представляют неизменно возрастающие трудности, и возрастающая цена наблюдения таких расстояний может являться новым фактором, который нужно ввести в теорию.

Равенство (16.16) очень похоже на (15.33):

и весьма сходно с соотношением неопределенности (16.14). Однако условия (16.16) имеют значение, совершенно отличное от соотношения неопределенности. В соотношении неопределенности означает погрешность в определении Е. В (16.16), с другой стороны, есть количество энергии, необходимое для эксперимента и превращаемое, хотя бы частично, в тепло на протяжении процесса измерения L с приближением Оба соотношения имеют, таким образом, только формальное сходство; их физический смысл совершенно различен.