7. Измерение импульса

В эксперименте с микроскопом мы предполагали, что нам известна начальная скорость частицы, и мы пытались измерить ее положение. Результаты были не очень благоприятны. Испробуем обратную процедуру. Начнем с измерения положения х в момент t с большой точностью. Это дает частице большой неизвестный импульс (см. (16.28)), но это не играет роли, потому что мы не знаем начальной скорости. Затем мы можем измерить скорость а следовательно, и при помощи эффекта Допплера). Обычное рассуждение, дающее

основано на предположении, что одного фотона достаточно для хорошего измерения частоты v в эффекте Допплера при условии, что может применяться длинный волновой

пакет общей длительностью :

Исследуем теперь вопрос более тщательно, с использованием замечаний, основанных на теории информации. Мы намерены показать, что одного фотона недостаточно, а также обсудим связь числа фотонов, необходимого для эксперимента, с точными спецификациями экспериментальной процедуры. Это приведет нас к видоизмененному соотношению неопределенности

где n зависит от условий наблюдения. Этот практический предел может быть снижен до прежнего значения (16.30), если условия выбраны так, чтобы n приближалось к единице.

Обсуждение информации показало, что нужно всегда определять диапазон изменения и погрешность измеряемых величин. В данной задаче мы берем:

В прежних примерах мы определяли диапазон во времени, предполагая, что вспышки длительностью повторяются с интервалом т. Такие световые сигналы могут быть получены путем наложения различных частот:

Эти частоты занимают полосу . Мы определяем также в (16.33) диапазон скоростей, с которыми хотим работать. Будем конструировать систему, способную измерять скорости от до с погрешностью . Это значит, что необходимо применить резонаторов, настроенных на различных допплеровых частот v, причем каждый резонатор способен принимать полосу частот , соответствующую

где v — средняя исходная частота. Измерение возможно при условии, что исходная полоса в (16.34) меньше, чем введенная равенством (16.35). Вопрос об эксперименте, требующем одновременных наблюдений, обсуждался в главе 14, и было показано, что нужно выбрать для каждого резонатора энергетический предел равный

Если в резонаторе наблюдается энергия , то резонатор считается невозбужденным, тогда как означает, что резонатор возбужден. В случае, когда для эксперимента принята высокая надежность , имеем (см. главу 14):

Этим условиям можно удовлетворить, используя только один квант М, если

Энергия будет соответствовать одному кванту на каждой частоте v, если взять

и мы имеем различных частот v, покрывающих полосу (см. (16.34)), для того, чтобы определить момент измерения времени. Рассеянная энергия равна а увеличение энтропии

Полученная информация равна

и обобщенное второе начало удовлетворяется:

Численный множитель может быть мал, но всегда больше, чем 2. Мы предположили высокую надежность и высокую точность и поэтому много больше, чем

Так как мы применяем n квантов, то получаем отдачу в n раз больше, чем в обычном случае, и соотношение неопределенности выражается формулой (16.32).

Возьмем, к примеру,

где значение вычисляется по формуле (16.37). На основании (16.38) эти значения дают:

Если эксперимент производится при комнатной температуре, то это условие дает частоты вблизи видимого диапазона. Теория информации и квантовые условия не вступают в противоречие; напротив, они дополняют друг друга.

В приложениях к теории поля мы будем пользоваться равенством (16.30), представляющим нижний предел (16.32).