7. Квантованный осциллятор
Эти простые формулы уже не применимы к осциллятору высокой частоты, когда квант 
уже не является малой величиной по сравнению с 
. В этом случае мы должны учитывать то обстоятельство, что в квантованном осцилляторе энергия может принимать только дискретные значения:
В термостате Т эти уровни энергии имеют вероятности, определяемые (9.32):
Коэффициент В определяется из условия, что сумма всех этих вероятностей должна равняться единице:
где
Отсюда
что дает:
Из (9.41) легко получить очень простое выражение для суммы вероятностей энергий выше определенного уровня:
а именно:
Найдя вероятности 
дискретных уровней энергии, мы можем затем подсчитать среднюю энергию Е квантованного резонатора
где п — среднее число квантов — равно
Сумму можно вычислить, если заметить, что она представляет собой производную по х от
Подставляя значение В из (9.40), находим:
где
так что
Это — известная формула Планка, являющаяся основой теории излучения черного тела. В задаче о квантованном резонаторе (см. (9.38) - (9.44)) мы можем отметить различие между наиболее вероятным состоянием, соответствующим наибольшему значению 
и средним числом квантов 
(см.(9.44)).
Для очень малых значений 
,
имеем:
Это есть случай низких частот, и результат согласуется с ранее полученным (см. (9.35)).
