7. Квантованный осциллятор

Эти простые формулы уже не применимы к осциллятору высокой частоты, когда квант уже не является малой величиной по сравнению с . В этом случае мы должны учитывать то обстоятельство, что в квантованном осцилляторе энергия может принимать только дискретные значения:

В термостате Т эти уровни энергии имеют вероятности, определяемые (9.32):

Коэффициент В определяется из условия, что сумма всех этих вероятностей должна равняться единице:

где

Отсюда

что дает:

Из (9.41) легко получить очень простое выражение для суммы вероятностей энергий выше определенного уровня:

а именно:

Найдя вероятности дискретных уровней энергии, мы можем затем подсчитать среднюю энергию Е квантованного резонатора

где п — среднее число квантов — равно

Сумму можно вычислить, если заметить, что она представляет собой производную по х от

Подставляя значение В из (9.40), находим:

где

так что

Это — известная формула Планка, являющаяся основой теории излучения черного тела. В задаче о квантованном резонаторе (см. (9.38) - (9.44)) мы можем отметить различие между наиболее вероятным состоянием, соответствующим наибольшему значению и средним числом квантов (см.(9.44)).

Для очень малых значений ,

имеем:

Это есть случай низких частот, и результат согласуется с ранее полученным (см. (9.35)).