5. Практический пример

Предыдущее рассуждение основывалось на рассмотрении целых длинных сообщений общей длительностью т. Посмотрим теперь, как такое сообщение может быть построено из некоторых стандартных сигналов. Начнем с системы ячеек раздела 1. Годится любая система ячеек, например та, которая соответствует ряду Фурье, или та, которая соответствует методу отсчетов Шеннона. Мы имеем (см. (17.7) и (17.8)):

ячеек, каждая из которых содержит энергию шума

Полная энергия шума равна в среднем

Выберем уровень энергии Е для данного сигнала в некоторой ячейке. На сигнал накладывается шум, что добавляет к энергии сигнала Е среднюю энергию с флуктуациями того же порядка величины, так что практически покрывается интервал энергий . В соответствии с этим довольно грубым рассуждением мы должны попробовать выбрать в каждой ячейке систему энергетических уровней, отстоящих друг от друга на , и использовать эти уровни в качестве элементарных сигналов. Сами сигналы обладают энергиями вплоть до некоторого наибольшего значения

а полные энергии сигнала вместе с шумом составляют!

Мы имеем, таким образом, различимых сигналов на каждую ячейку. Целое сообщение длительностью получается путем задания энергий сигнала в ячейках.

Полная энергия сообщения в среднем равна

Эти определения согласуются с предыдущими. Если длительность сообщения велика, то мало отличается от своего среднего значения и все сообщения будут иметь практически энергию, выраженную соотношением (17.33). Это снова случай совпадения наивероятнейшего и среднего значений.

Число получаемых таким путем различимых сообщений равно

и пропускная способность канала

Но согласно (17.33)

где — наибольшая мощность сигнала.

Итак, пропускная способность С равна предельной пропускной способности, выражаемой формулой Таллера — Шеннона (17.15). Эта модель будет использована для сравнения в последующем рассуждении.

Это рассуждение оправдывает выбор интервала введенного в (17.32), поскольку он приводит к формуле Шеннона. Более тесное расположение дало бы, очевидно, перекрытие энергетических интервалов, соответствующих двум соседним уровням сигнала. Более просторное расположение могло бы дать ббльшую надежность передачи, но не дало бы полного использования пропускной способности канала.

Несколько дополнительных замечаний полезны для того, чтобы показать связь с анализом предыдущего раздела. Покажем сначала, что равноотстоящие уровни энергии (см. (17.32)) соответствуют равномерной плотности точек сигналов в пространстве

измерений. Рассмотрим некоторую, скажем ячейку, имеющую две степени свободы, т. е. одну синусную составляющую и одну косинусную, которые мы обозначим Эти координат образуют М-мерное пространство. Предположим, что точки сигналов имеют в плоскости равномерную плотность . В среднем в малой области число точек будет:

Возьмем теперь кольцевую область между и определив условием

где — соответствующая энергия. Среднее число точек сигналов в этой области равно

и мы получаем по шкале энергий равномерную плотность для i-й ячейки

Это соответствует предположению (17.32).

В (17.32) мы применили равноотстоящие и равновероятные энергетические уровни вплоть до некоторого наибольшего. Мы можем ввести иное допущение и рассматривать энергетические уровни с априорной вероятностью

для энергии в i-й ячейке. Это дает вероятность

в -мерном пространстве. Задача очень сходна с ранее рассмотренной (см. (17.16) и . Новая постоянная просто заменяет прежнюю [3, и мы рассматриваем энергию сигнала вместо энергии шума. Все точки сигналов практически лежат на сфере

и есть средняя энергия сигналов,