2. Сигналы и тепловой шум: представление в многомерном пространстве

Анализ главы 8 приложим к любым сообщениям и сигналам. Каким образом применить его к тепловому шуму с конечной шириной полосы наблюдаемому на протяжении времени ? В каждой ячейке мы можем определить среднюю интенсивность, но фаза случайна.

Таким образом, мы имеем составляющих, каждая из которых представляет собой гармонический осциллятор со средней энергией . Мы предполагаем низкие частоты и игнорируем квантовые условия. Мы придем к такому же заключению, если рассмотрим разложение Фурье для всей системы с его N составляющими, и будем считать среднюю кинетическую энергию равной для каждого синусного члена и для каждого косинусного члена. Можно также начать с шенноновых N отсчетов и присвоить каждому из них среднюю кинетическую энергию . В общем, энергия шума в среднем равна

а мощность шума

Это соответствует сигналам, распространяющимся вдоль линии в одном направлении: например, сигнал генерируется на входе слева и распространяется направо. Результат совпадает с равенством (11.7), полученным при обсуждении той же самой задачи по Найквисту.

Тепловой шум определяется своими средней мощностью и флуктуациями (см. главы 9, 10 и 11). Если бы мощность шума была в точности постоянна, она легко могла бы быть устранена и скомпенсирована, но возмущения возникают в действительности из-за непредсказуемых флуктуации, которые всегда имеют тот же порядок величины, что и средняя мощность.

Рассмотрим сигнал (или сообщение), заданный в виде некоторой произвольной функции с максимальной частотой ум и длительностью т. Функция имеет N степеней свободы как определено в предыдущем разделе. Она может быть представлена точкой с координатами в -мерном пространстве .

Каждая совокупность ячеек будет соответствовать некоторой координатной системе в , и изменение координат в многомерном пространстве означает изменение системы ячеек. Для представления данной функции мы пользуемся ортогональными функциями, и полная энергия будет пропорциональна сумме квадратов координат. При надлежащем выборе единиц можем записать:

без отдельного численного множителя. Если энергия задана, точка должна лежать на гиперсфере радиуса . Объем такой сферы, как известно, при больших N равен

Постоянная зависит от числа измерений N. Интересным свойством пространства с большим числом измерений N является то, что объем в основном сосредоточен вблизи поверхности. Это можно доказать, показав, что малое приращение радиуса Дает очень большое приращение объема:

Когда N превосходит это выражение может стать больше единицы! Итак, мы будем иметь в виду, что практически весь объем гиперсферы сосредоточен в тонком слое около поверхности.