7. Обсуждение устойчивости программы

Вычислительная машина, работающая по заданной программе, характеризуется коэффициентом передачи и отклик пропорционален воздействию A(s), умноженному на W (см. 19.40)):

Пока остается конечным, отклик конечен и выражает получаемое усиление. Если становится бесконечно большим, мы можем получить отклик без всякого воздействия. Это соответствует полюсам функции Пусть

будет полюсом. На выходе имеем:

Если а положительно или нуль, колебания со временем нарастают или сохраняют неизменную амплитуду. Когда о отрицательно, колебания затухают. Они могут возбудиться в переходном режиме, но в конце концов исчезнут.

Рис. 19.4. На комплексной плоскости s полюс справа от мнимой оси означает неустойчивость, тогда как полюс слева не дает неустойчивости. Показано повторение в последовательных полосах; устойчивые полюсы обозначены точками, неустойчивые — крестиками.

Рис. 19.5. Конформное преобразование комплексной плоскости s на комплексную плоскость Z.

Мнимая ось плоскости s преобразована в единичную окружность плоскости r. Полюсы, соответствующие (неустойчивые) рис. 19.4, попадают внутрь круга; полюсы, соответствующие (устойчивые), — вовне.

Таким образом, неустойчивость соответствует полюсам коэффициента передачи с положительной вещественной частью. Эти полюсы находятся справа от мнимой оси переменной s. Вследствие периодичности данный полюс встречается в каждой полосе высотой 2. Полюс слева от мнимой оси не дает неустойчивости. Рис. 19.4 иллюстрирует общее положение: полосы с отрицательным с (устойчивые) отмечены точками, тогда как полюсы с неотрицательным а (неустойчивые) отмечены крестиками. Рекуррентность полюса , в последовательных полосах высотой показана, как .

Вместо плоскости s можем рассматривать комплексную плоскость z, показанную на рис. 19.5. Формула

представляет конформное преобразование плоскости s на плоскость z. Начало 0 в плоскости z означает z = 0 и соотвеь ствует . Окружность радиуса 1 в плоскости z соответствует мнимой оси плоскости s

а внутренность единичного круга r представляет правую полуплоскость s. Полюс (и его изображения ) в правой полуплоскости s соответствует полюсу р, внутри единичного круга на плоскости z. Полюс в левой полуплоскости s представляется точкой , лежащей вне единичного круга на плоскости z.

Задача определения местонахождения полюсов коэффициента передачи может теперь быть поставлена более точно. Коэффициент передачи W из (19.40) может быть записан следующим образом:

После того как общие корни Р и Q исключены, полюсы соответствуют остающимся корням :

Мы можем теперь рассмотреть другое конформное преобразование, перейдя от комплексной плоскости z к комплексной плоскости Q, как показано на рис. 19.6. Начало 0 плоскости Q соответствует всем корням функции Q (см. (19.59)); следовательно, оно представляет все полюсы коэффициента передачи W. Точка Q = 1 на плоскости Q отображает точку — начало плоскости z. Единичная окружность плоскости z преобразуется в кривую (траекторию) L на плоскости Q, и внутренность единичного круга преобразуется во внутренность траектории L. Если полюс расположен внутри единичного круга плоскости z, то начало плоскости Q лежит в области, ограниченной траекторией L, как показано на рис, 19.6, b, Такое положение выражает неустойчивость,

На рис. 19.6, а показано начало, лежащее вне траектории L, что соответствует устойчивости.

Зальцер рассмотрел различные примеры и показал большую практическую ценность метода. Очень часто грубый набросок траектории L достаточен, чтобы определить устойчивость. По тому, насколько траектория обходит начало, можно судить об относительной устойчивости. Частота наибольшего приближения к началу очень часто является резонансной частотой программы вычисления.

Рис. 19.6. Комплексная Q-плоскость есть конформное преобразование

а) пример, в котором начало координат плоскости Q лежит вне траектории . Это — устойчивый случай; b) пример, в котором начало координат плоскости Q лежит внутри траектории L. Это — неустойчивый случай.

Коэффициент передачи программы вычисления всегда выражается функцией типа (19.40) или (19.58). Когда коэффициент передачи для операции известен, выполнимость операции вычислительной машиной доказана, если коэффициент передачи может быть записан в виде дроби (19.40) или (19.58). Это является главным и, разумеется, очень важным результатом рассуждений Зальцера.