2. Наблюдения над осциллятором

Рассмотрим гармонический осциллятор частоты v с квантованными уровнями энергии . Вышеприведенная задача об амперметре соответствует предельному случаю очень низкой частоты. Мы получили выраженные формулами (9.31)-(9.44) некоторые общие результаты, относящиеся к статистическим свойствам такого осциллятора, поддерживаемого при температуре Т. Энергетический уровень имеет вероятность

где

Отсюда для вероятностей состояний выше (q-1) и ниже q получаем соответственно:

Мы можем определить медиану квантового числа условием

которое дает:

так что

Эту медиану можно сравнить со средним значением

Для низких частот

так что (14.7) дает:

и мы отмечаем, что медиана меньше среднего. Для высоких частот получаются иные соотношения, которые будут обсуждены в следующем разделе.

Далее мы подсчитаем среднее квантовое значение для состояний :

и с помощью (14.5) и (14.7) получим:

Среднее квантовое значение для группы состояний получается непосредственно из соотношения

которое дает:

Применим эти результаты к медиане:

для низких частот

(14.12)

Мы можем теперь рассмотреть вопрос о том, как производится наблюдение и как оценивается его надежность. Положим, что мы наблюдаем в некоторый момент времени t энергию, соответствующую квантам. Вероятность того, что это высокое квантовое число может обусловливаться тепловыми флуктуациями, обозначим . Вероятность того, что резонатор получил нормальным образом я q, а затем поглотил некоторое количество добавочных квантов (от внешнего источника) для достижения уровня выше q, обозначена через . Если считать оба случая равновероятными, то мы должны взять q равным медиане

Если, с другой стороны, мы возьмем значение Айзинга для «надежного» наблюдения (см. (14.3)), то

и

(14.13)

что дает для ошибки вследствие теплового движения вероятность около 2%.

В момент t мы наблюдаем больше чем q квантов в резонаторе. Если это обусловлено тепловыми флуктуациями, то средняя избыточная энергия получена от окружающего термостата Т, и согласно (14.5) средняя энергия в этом случае будет равна

(14.14)

Если q квантов от постороннего источника действительно поглощаются, то избыточная энергия получается от этого источника и добавляется к нормальному среднему значению , что снова дает (14.14). В дальнейшем избыточная энергия

с той или иной скоростью рассеивается вследствие грения, вязкости или омических потерь и поглощается окружающим термостатом при температуре Т.

Если (14.14) есть результат флуктуаций, то это просто означает, что термостат получает обратно часть энергии, которую он первоначально отдал. Если (14.14) есть результат действительного поглощения энергии от внешнего источника, то в конечном счете q квантов поглощаются термостатом и получается увеличение энтропии

(14.15)

Это увеличение энтропии окружающего термостата есть цена, уплачиваемая за наблюдение. Наименьшее значение этого увеличения получается, когда мы допускаем вероятность ошибки, равную 50%.

Очень интересно, что, если выбрать предел (см. (14.6) и (14.8)), то потребуется, тем не менее, поглощение некоторого количества энергии для того, чтобы вернуть резонатор в нормальное состояние. Это объясняется тем, что предел может быть ниже среднего и, но среднее для квантов выше больше, чем (см. (14.12)).

Полученный результат является общим и применим как к низким, так и к высоким частотам, хотя численный пример этого раздела относился к низким частотам.

3. Высокочастотный резонатор и цена наблюдения

Рассмотрим высокочастотный резонатор, для которого может быть порядка kT или больше kT. Величина уже не мала, и условие (14.6) для медианы обычно не дает целого числа. Мы должны поэтому взять ближайшее большее целое:

(14.16)

Надежность наблюдения при этом выше 50% и больше, чем (см. (14.15)), если весь избыток энергии рассеивается и передается термостату при температуре Т.

Возьмем теперь другой случай, который соответствует проблеме демона Максвелла. Молекулы находятся в замкнутом объеме при температуре Т, и для того, чтобы увидеть

молекулы, мы применяем дополнительный источник света, испускающий кванты . Молекула может быть наблюдаема, если она рассеивает по меньшей мере один квант , который затем поглощается фотоэлементом или глазом наблюдателя. Этот квант должен быть выше уровня излучения черного тела для того, чтобы можно было различить его на общем фоне.

Ранее предполагалось (см. (13.4) и (13.38)), что эти требования приводят к условию

Покажем теперь, что мы можем снизить предел до

Для этого заметим прежде всего, что наименьшее количество энергии, которое может быть поглощено, - это один квант.

Далее, если мы хотим, чтобы надежность наблюдения одного (или более) квачга была не ниже 50%, мы должны взять . Совместно с (14.6) и (14.7) это приводит к соотношениям

Среднее и медиана совпадают и соответствуют поглощению ровно одного кванта.

Основное состояние (без квантов) имеет вероятность 1/2, равную общей вероятности всех состояний с 1, 2, 3 или более квантов. Если мы наблюдаем один (или более) квант в резонаторе, то вероятность того, что он может быть обусловлен действительным поглощением, составляет 50%, и вероятность того, что он обусловлен флуктуациями, также равна 50%. Когда этот квант рассеивается и снова поглощается окружающей средой при температуре Т, мы получаем увеличение энтропии среды на

Таким образом, предел k, которым мы пользовались в разделе 3 главы 13, должен быть заменен на , что несколько повышает эффективность действия демона.

Если в замкнутом объеме при температуре Т мы рассматриваем резонатор с более высокой частотой

то получаем , и мы должны согласно (14.16) взять . Это дает надежность выше 50% и больше, чем . Во всех этих примерах наблюдение дает нам в точности одну двоичную единицу информации, ответ «да» или «нет» на определенный вопрос:

Была ли энергия поглощена данным резонатором?

Имеется ли молекула газа в данном месте?

Одна двоичная единица информации соответствует и должна быть оплачена негэнтропией большей, чем .

Нужно отметить, что информация действительна лишь на короткое время: затухание резонатора вскоре рассеивает избыточную энергию или молекула смещается из наблюдаемого положения. Этот закон убывания соответствует общему смыслу второго начала.

Предшествующее рассуждение ясно показывает, что второе начало справедливо лишь в среднем (см. п. В раздела 1). Второе начало всегда ограничено возможностью непредсказуемых флуктуаций. Может случиться, что отдельное наблюдение сможет быть сделано за исключительно малую цену, но мы не в состоянии предвидеть, когда и как это может случиться. Только средние значения могут уверенно предсказываться.

Количество информации, соответствующее значительному числу двоичных единиц, дает чрезвычайно малое изменение энтропии системы благодаря множителю в (14.1).

Обсуждаемые нами вопросы не имеют большого значения для термодинамики, но связь между энтропией и информацией имеет фундаментальное значение для последовательного построения теории информации. Кроме того, мы рассмотрим специальные условия, когда энтропийная цена наблюдения может оказаться много выше предела (14.1).