Главная > Наука и теория информации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Наблюдения над осциллятором

Рассмотрим гармонический осциллятор частоты v с квантованными уровнями энергии . Вышеприведенная задача об амперметре соответствует предельному случаю очень низкой частоты. Мы получили выраженные формулами (9.31)-(9.44) некоторые общие результаты, относящиеся к статистическим свойствам такого осциллятора, поддерживаемого при температуре Т. Энергетический уровень имеет вероятность

где

Отсюда для вероятностей состояний выше (q-1) и ниже q получаем соответственно:

Мы можем определить медиану квантового числа условием

которое дает:

так что

Эту медиану можно сравнить со средним значением

Для низких частот

так что (14.7) дает:

и мы отмечаем, что медиана меньше среднего. Для высоких частот получаются иные соотношения, которые будут обсуждены в следующем разделе.

Далее мы подсчитаем среднее квантовое значение для состояний :

и с помощью (14.5) и (14.7) получим:

Среднее квантовое значение для группы состояний получается непосредственно из соотношения

которое дает:

Применим эти результаты к медиане:

для низких частот

(14.12)

Мы можем теперь рассмотреть вопрос о том, как производится наблюдение и как оценивается его надежность. Положим, что мы наблюдаем в некоторый момент времени t энергию, соответствующую квантам. Вероятность того, что это высокое квантовое число может обусловливаться тепловыми флуктуациями, обозначим . Вероятность того, что резонатор получил нормальным образом я q, а затем поглотил некоторое количество добавочных квантов (от внешнего источника) для достижения уровня выше q, обозначена через . Если считать оба случая равновероятными, то мы должны взять q равным медиане

Если, с другой стороны, мы возьмем значение Айзинга для «надежного» наблюдения (см. (14.3)), то

и

(14.13)

что дает для ошибки вследствие теплового движения вероятность около 2%.

В момент t мы наблюдаем больше чем q квантов в резонаторе. Если это обусловлено тепловыми флуктуациями, то средняя избыточная энергия получена от окружающего термостата Т, и согласно (14.5) средняя энергия в этом случае будет равна

(14.14)

Если q квантов от постороннего источника действительно поглощаются, то избыточная энергия получается от этого источника и добавляется к нормальному среднему значению , что снова дает (14.14). В дальнейшем избыточная энергия

с той или иной скоростью рассеивается вследствие грения, вязкости или омических потерь и поглощается окружающим термостатом при температуре Т.

Если (14.14) есть результат флуктуаций, то это просто означает, что термостат получает обратно часть энергии, которую он первоначально отдал. Если (14.14) есть результат действительного поглощения энергии от внешнего источника, то в конечном счете q квантов поглощаются термостатом и получается увеличение энтропии

(14.15)

Это увеличение энтропии окружающего термостата есть цена, уплачиваемая за наблюдение. Наименьшее значение этого увеличения получается, когда мы допускаем вероятность ошибки, равную 50%.

Очень интересно, что, если выбрать предел (см. (14.6) и (14.8)), то потребуется, тем не менее, поглощение некоторого количества энергии для того, чтобы вернуть резонатор в нормальное состояние. Это объясняется тем, что предел может быть ниже среднего и, но среднее для квантов выше больше, чем (см. (14.12)).

Полученный результат является общим и применим как к низким, так и к высоким частотам, хотя численный пример этого раздела относился к низким частотам.

3. Высокочастотный резонатор и цена наблюдения

Рассмотрим высокочастотный резонатор, для которого может быть порядка kT или больше kT. Величина уже не мала, и условие (14.6) для медианы обычно не дает целого числа. Мы должны поэтому взять ближайшее большее целое:

(14.16)

Надежность наблюдения при этом выше 50% и больше, чем (см. (14.15)), если весь избыток энергии рассеивается и передается термостату при температуре Т.

Возьмем теперь другой случай, который соответствует проблеме демона Максвелла. Молекулы находятся в замкнутом объеме при температуре Т, и для того, чтобы увидеть

молекулы, мы применяем дополнительный источник света, испускающий кванты . Молекула может быть наблюдаема, если она рассеивает по меньшей мере один квант , который затем поглощается фотоэлементом или глазом наблюдателя. Этот квант должен быть выше уровня излучения черного тела для того, чтобы можно было различить его на общем фоне.

Ранее предполагалось (см. (13.4) и (13.38)), что эти требования приводят к условию

Покажем теперь, что мы можем снизить предел до

Для этого заметим прежде всего, что наименьшее количество энергии, которое может быть поглощено, - это один квант.

Далее, если мы хотим, чтобы надежность наблюдения одного (или более) квачга была не ниже 50%, мы должны взять . Совместно с (14.6) и (14.7) это приводит к соотношениям

Среднее и медиана совпадают и соответствуют поглощению ровно одного кванта.

Основное состояние (без квантов) имеет вероятность 1/2, равную общей вероятности всех состояний с 1, 2, 3 или более квантов. Если мы наблюдаем один (или более) квант в резонаторе, то вероятность того, что он может быть обусловлен действительным поглощением, составляет 50%, и вероятность того, что он обусловлен флуктуациями, также равна 50%. Когда этот квант рассеивается и снова поглощается окружающей средой при температуре Т, мы получаем увеличение энтропии среды на

Таким образом, предел k, которым мы пользовались в разделе 3 главы 13, должен быть заменен на , что несколько повышает эффективность действия демона.

Если в замкнутом объеме при температуре Т мы рассматриваем резонатор с более высокой частотой

то получаем , и мы должны согласно (14.16) взять . Это дает надежность выше 50% и больше, чем . Во всех этих примерах наблюдение дает нам в точности одну двоичную единицу информации, ответ «да» или «нет» на определенный вопрос:

Была ли энергия поглощена данным резонатором?

Имеется ли молекула газа в данном месте?

Одна двоичная единица информации соответствует и должна быть оплачена негэнтропией большей, чем .

Нужно отметить, что информация действительна лишь на короткое время: затухание резонатора вскоре рассеивает избыточную энергию или молекула смещается из наблюдаемого положения. Этот закон убывания соответствует общему смыслу второго начала.

Предшествующее рассуждение ясно показывает, что второе начало справедливо лишь в среднем (см. п. В раздела 1). Второе начало всегда ограничено возможностью непредсказуемых флуктуаций. Может случиться, что отдельное наблюдение сможет быть сделано за исключительно малую цену, но мы не в состоянии предвидеть, когда и как это может случиться. Только средние значения могут уверенно предсказываться.

Количество информации, соответствующее значительному числу двоичных единиц, дает чрезвычайно малое изменение энтропии системы благодаря множителю в (14.1).

Обсуждаемые нами вопросы не имеют большого значения для термодинамики, но связь между энтропией и информацией имеет фундаментальное значение для последовательного построения теории информации. Кроме того, мы рассмотрим специальные условия, когда энтропийная цена наблюдения может оказаться много выше предела (14.1).

1
Оглавление
email@scask.ru