7. Метод отсчетов Шеннона

Шеннон применяет метод отсчетов в связи с задачей В (см. (8.53)) о функции одиночного сообщения, предполагаемой равной нулю при t<0 или . Мы можем решить эту задачу следующим образом: возьмем периодическую функцию с длинным периодом и положим, что имеет свои исходные значения на интервале от 0 до и равна нулю от до . При этом, конечно, предполагается плавный переход к нулевой линии на обоих концах, во избежание появления частот выше предела . Новая функция отсчитывается на новом интервале в равноотстоящих точках в соответствии с процедурой, описываемой равенствами (8.59) и (8.62). Новый интервал отсчетов аналогично (8.59) равен

Если и велики, то пренебрежимо малы по сравнению

с высшей частотой , и мы имеем:

Полное число точек отсчета составляет теперь:

Из числа этих точек мы имеем N точек, попадающих в первоначальный интервал и точек в в интервале Первая система точек дает ненулевые отсчеты

остальные точки дают нули:

Импульсная функция из (8.62) принимает вид

Будем устремлять , к бесконечности, a — к нулю. В пределе получим интервал отсчетов

и будем иметь бесконечное число отсчетов равных нулю. Не равны нулю только те отсчеты, которые относятся к интервалу

Число этих отсчетов равно

что совпадает с (8.51), тогда как импульсная функция

приводится к виду

так как

Таким образом, функция представляется в пределе равенством (8.60), принимающим форму:

Легко показать, что разложение (8.70) принимает значения во всех точках отсчета. Возьмем, например, точку

Член в сумме (8.70) дает составляющую а все остальные члены равны нулю:

Сумма (8.70) не дает в точности для но представляет функцию, быстро убывающую в обе стороны с небольшими колебаниями частоты v. Такое представление применялось Шенноном.

Функция одиночного сообщения определенная в соответствии с (8.53), имеет только N степеней свободы, как показывает вышеописанный метод отсчетов. Разложение этой функции по Фурье приводит к интегралу Фурье вместо ряда Фурье. Число членов разложения Фурье бесконечно, но оно содержит лишь N независимых переменных . Мы можем проверить это, так как наша функция совпадает со сглаженным импульсом (8.26) и имеет спектр

(8.70а)

откуда

и

Общие принципы этой проблемы были открыты независимо несколькими учеными. Первоначальная идея принадлежит, по-видимому, Уиттекеру (1915 г.). Дальнейшие подробности и приложения даны в разделах 6 и 7 главы 17.