4. Роль конечной ширины полосы частот

Одним из важных свойств любой системы связи является то, что она всегда использует конечную полосу частот. Система может быть типа фильтра нижних частот, если применяются все частоты от нуля до некоторой наивысшей частоты v, или типа полосового фильтра, если применяются частоты в интервале от до . Система типа фильтра верхних частот является чисто гипотетической, так как не существует физической системы без верхнего предела частоты. Исследование полосовой системы может быть сведено к случаю нижних частот, модулирующих несущую частоту. Мы можем поэтому ограничить свое рассмотрение случаем нижних частот. Вопрос ставится так: дана верхняя граничная частота каковы сигналы, которые мы можем передавать? Или иначе: каковы свойства функций , спектр которых не простирается выше ?

Это условие означает, что мы используем полосу частот

(8.30)

Прежде всего, нужно отметить, что сигнал длительности требует для его воспроизведения полосы

(8.30а)

Практически полоса ограничена не резко. Для частот внутри полосы велико по сравнению с его значениями вне полосы. Аналогично функция представляет сигнал относительно большой интенсивности на протяжении длительности , и относительно малой интенсивности в остальное время. Произведение имеет нижнюю грань. Качественно

это видно из примеров (8.25) — (8.28), в которых сигналы, более четко определенные во времени, имеют более широкие спектры.

Задача установления количественной связи между шириной полосы и длительностью сигнала представляется эмпирической. Нижеследующий опыт из области телевидения дает основание для выбора количественных определений.

Установлено, что требуется полоса шириной около 6 мгц для передачи сигналов при 525 строках, 30 кадрах в секунду и 360 импульсах на строку. Это дает для длительности импульса

и

Этот пример показывает, что ширина полосы и длительность должны удовлетворять неравенству

(8.30а)

Рассмотрим теперь примеры (8.25) — (8.28) предыдущего раздела. Мы имеем здесь короткие симметричные импульсы с максимальным значением при и действительной спектральной плотностью, принимающей наибольшее значение при v = 0.

Нижеследующие определения и , находятся в соответствии с

Но интеграл в (8.31) равен из (8.24). Аналогично интеграл в (8.32) представляет в (8.23), так что

Эти определения дают равенство вместо неравенства (8.30). Они могут быть легко проверены на наших предыдущих примерах. Эти специальные примеры не отражают, однако, общей ситуации, и соотношения (8.31) и (8.32) не могут применяться для практического и общего определения длительности сигнала и ширины полосы. Так, при подсчете длительности сигнала отрицательные значения должны давать положительный вклад, тогда как в (8.31) они входят с отрицательным знаком.

Рис. 8.6. Длительность импульса получена путем приравнивания произведения площади под кривой абсолютных значений

Мы можем испробовать следующие видоизмененные определения, основанные на абсолютных значениях:

и аналогично

Эти определения дают:

что и представляет собой условие (8.30а), которому мы стремимся удовлетворить. Рис. 8.6 иллюстрирует метод: отрезок

выбирается так, чтобы прямоугольник с основанием и высотой имел площадь , равную площади под кривой («выпрямленной» кривой Аналогично обстоит дело и с полосой частот. Длительность может быть уменьшена, если выбрать начало отсчета времени в точке, в которой максимальна. Аналогично ширина полосы может быть уменьшена надлежащим выбором начала отсчета частот, для чего нужно умножить спектр на . Эта операция есть попросту демодуляция сигнала. Но и эти новые значения и всегда удовлетворяют общему условию (8.36).