6. Соотношения неопределенности в экспериментах с микроскопом

Методы теории информации были применены в разделах 8 и 9 главы 15 при обсуждении наблюдений под микроскопом. Это типичная задача, часто приводимая в связи с соотношением неопределенности. В рассуждении обычно предполагается, что для получения информации о положении частицы используется один фотон. Это, очевидно, слишком упрощенное

предположение. Единственный фотон, наблюдаемый в точке I рис. 16.2, может прийти откуда угодно и не обязательно указывает наличие рассеивающей частицы в М. Рассуждение главы 15 ясно показывает, что для четкого определения фокального изображения в I нужно большое число фотонов. При одном-единственном фотоне получается соотношение неопределенности

тогда как при использовании многих фотонов неопределенность становится много больше:

где численный множитель А может быть очень большим. Это типично для экспериментального устройства, в котором положение измеряется при помощи некоторой оптической системы без применения материальных экранов, диафрагм или затворов. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Рис. 16.2. Условия наблюдения, когда волновод с линзой применяется для обнаружения частицы в фокусе М.

Условия наблюдения показаны схематически на рис. 16.2. Мы хотим измерить на интервале а с погрешностью , но мы не интересуемся значениями у или b, или . В выражении (15.62) для собственных волн мы ограничиваемся множителем и значениями I и множитель и значение всякий раз, когда это возможно. Мы можем, например, выбрать беря основную волну , так как эти значения дают низшую граничную частоту (см. (15.65)). Эта волна будет представлять луч, проходящий сквозь волновод и падающий на частицу М:

Этот падающий луч представляется наложением двух плоских

волн, для которых согласно (15.66)

Мы можем также считать, что принимает как положительные, так и отрицательные значения, так что . Углы были определены в разделе 8 главы 15, и мы имеем, вообще,

и будем рассматривать и как положительные или отрицательные целые числа.

Свет, рассеянный частицей М, может содержать собственные волны со всеми возможными значениями и . Мы можем устранить большую часть составляющих, применяя цилиндрическую линзу длиной b в L. Устройство исключает все члены, кроме . Таким образом, можно описать процесс рассеяния как переход

Однако для того чтобы учесть положительные и отрицательные знаки мы должны рассматривать переходы

Изменение за время рассеяния фотона дает частице М импульс

Знак ± содержится теперь в и значение I может пробегать интервал от — до — 1 или от 1 до Значение исключено, так как не могут оба равняться нулю. Условие (15.69) требует использования n членов в каждой волне для того, чтобы t было определено с погрешностью Так как импульсы могут быть как

положительными, так и отрицательными, мы составляем сумму квадратов, обозначив ее :

или

Множитель 4 в (16.27) появляется потому, что имеются четыре случая (16.25а), соответствующих комбинациям ±1 и . Пользуясь теперь значением из (15.68), получаем:

Это есть уточненное соотношение неопределенности, учитывающее определение времени и пределы изменения переменной в эксперименте с микроскопом.

Значение может изменяться в диапазоне от до бесконечности. Значение не должно применяться, так как оно не дает информации. Параметр а может изменяться от до бесконечности. Таблица 16.1 дает результаты вычисления для нескольких простых случаев.

Таблица 16.1

Если точность очень низка и если определение происходит в основном за счет экранов и препятствий , то имеет место обычная неопределенность. Нас могут, однако, интересовать случаи, когда определение времени и измерение расстояния выполняются первоначально при помощи оптической системы, что ведет к гораздо большей неопределенности. Возьмем, к примеру,

Мы приходим, таким образом, к заключению, что неопределенность может стать очень большой при измерении положения свободной частицы, т. е. частицы, могущей свободно перемещаться на большое расстояние на протяжении долгого времени без возмущений со стороны материальных экранов, затворов или других механических устройств. Такие механические устройства, очевидно, уже не могут применяться, когда речь идет о малых расстояниях, меньше , и наше рассуждение имеет большое значение для этого диапазона.