6. Задача Силарда: полностью информированная тепловая машина

Силард опубликовал в 1929 г. очень примечательную работу, посвященную проблеме демона Максвелла, и впервые обнаружил связь между информацией и энтропией. Мы исследуем некоторые интересные вопросы, поставленные Силардом, и обсудим недавнюю работу Гэйбора, посвященную этой же проблеме.

Силард рассматривает следующий случай: замкнутый цилиндр объема V может быть разделен на две части V, и путем вдвигания определенным образом расположенной заслонки. Цилиндр содержит только одну молекулу. В тот момент, когда наблюдатель вдвигает заслонку, он может так или иначе знать, находится молекула в V] или в Положим, что молекула находится в . Тогда заслонка передвигается, как поршень, вдоль цилиндра и объем V, медленно расширяется до исходной величины V, причем вся система поддерживается термостатом при постоянной температуре Т. Молекула может удариться о поршень много раз на протяжении этой медленной операции, и результатом

этих соударений является среднее давление, сходное с давлением идеального газа. При этот совершается некоторая работа. Затем заслонка удаляется вбок, возвращается в исходное положение, и операция может быть повторена. Эта система дает механическую работу. Она использует только температуру, но требует информации о положении молекулы, и мы должны выяснить, как связана эта информация с изменениями энтропии. Наше точное определение информации и результаты, полученные в предыдущих примерах, позволяют нам упростить и уточнить рассуждения.

В схеме Силарда этапы следуют в таком порядке:

A. Заслонка вдвигается в некотором положении.

B. Выясняется, где находится молекула — в или в .

C. В соответствии с этим поршень (заслонка) движется вверх или вниз.

Первый этап А не требует обсуждения. Что касается В, то мы должны придумать экспериментальное устройство для определения местонахождения молекулы. Мы можем использовать луч света проходящий через и другой луч проходящий через . Два фотоэлемента могут воспринимать рассеянный свет из К, и соответственно. Включим сперва луч Если С, получает рассеянный свет, это означает, что молекула находится в Если не обнаруживает света, то еще ничего не известно, так как молекула может не находиться в молекула может не рассеять свет, рассеянный световой квант может не попасть в . Затем мы повторим опыт рассеяния со вторым лучом в . В конце концов квант рассеивается либо от либо от и мы определяем местоположение молекулы. Поглощение кванта в одном из фотоэлементов соответствует увеличению энтропии на

(13.45)

в соответствии с предыдущим рассуждением (см. (13.7)). Более подробное исследование (см. (14.17)) несколько понижает предел и дает:

Подсчитаем теперь полученную информацию. Вероятность застать молекулу в равна, очевидно, а вероятность

того, что молекула находится в равна :

Рассмотрим эти два случая порознь. С помощью формул (1.5) и (1.6) можно подсчитать:

и средняя информация на одну операцию равна

что соответствует формуле Шеннона (см. (2.1)). Каждая отдельная операция может дать информацию больше или меньше увеличения энтропии , потребовавшегося для получения этой информации, но средняя информация (13.46а) меньше, чем среднее увеличение энтропии на одну операцию:

Знак равенства получается при равенстве объемов и V:

что соответствует наибольшей средней информации. Мы можем иметь флуктуации информации, полученной при отдельных операциях. Однако в длинной серии испытаний средняя информация меньше, чем уплаченная за нее цена, выраженная через негэнтропию . Обобщенный принпип Карно (глава 13) удовлетворяется в среднем с положительными и отрицательными флуктуациями

Рассмотрим теперь изменение энтропии газа и последний этап С действия машины, Энтропия идеального газа равна

(см. (12.12)):

Когда заслонка вдвигается, мы получаем некоторое уменьшение энтропии:

Вероятности, соответствующие этим двум возможностям, равны и . Заметим, что уменьшение энтропии или всегда в точности равно получаемой в данном случае информации или , так как (13.46) и (13.48) совпадают, за исключением знака. Средняя энтропия газа убывает за одну операцию на

Когда мы двигаем поршень и увеличиваем объем до его первоначальной величины V, мы восстанавливаем исходное значение энтропии. Совершенная работа W равна теплу Q, полученному из резервуара тепла (в предположении медленного обратимого процесса); применяя закон Бойля к одной молекуле, для случая 1 (молекула находится в ) имеем:

Увеличение энтропии на протяжении процесса расширения составляет:

аналогично обстоит дело, когда молекула находится в .

Последняя операция подтверждает справедливость равенств (13.48) и показывает, каким образом получается первоначальное уменьшение энтропии. В общем, за полный цикл

действия получается (см. (13.47)) возрастание энтропии на .

Таким образом, мы показали на этом примере, что информация соответствует негэнтропии (см. (13.47) и (13.49)), но мы должны были учитывать флуктуации, так как предполагалось, что заслонка вначале вдвигается без предварительного знания местонахождения молекулы.