3. Интеграл Фурье

Рассмотрим интеграл Фурье на примере, очень близком к практическим задачам импульсной техники. Возьмем периодическую (с периодом ) последовательность импульсов длительностью и разложим эту последовательность в ряд Фурье в соответствии с (8.1) и (8.2) (рис. 8.3):

где вещественная функция.

Рис. 8.3. Импульс длительностью , повторяемый периодически с интервалом . Так как импульс равен нулю вне короткого интервала , то пределы интегрирования могут быть взяты равными . Предположим, что расстояние между соседними импульсами постепенно увеличивается и стремится в пределе к бесконечности. Дискретная сумма

для может быть записана в виде

Когда очень велико, сумма переходит в интеграл

и

В интеграле (8.22) интегрирование в действительности происходит на интервале , соответствующем одиночному импульсу, так как только при .

Рис. 8.4. Непрерывный спектр интеграла Фурье (кривая 1) как огибающая дискретного спектра .

Для больших мы получаем для дискретный спектр, огибающая которого выражается непрерывным спектром интеграла Фурье. Чем больше тем короче интервал между линиями дискретного спектра рис. 8.4. Равенства (8.21) и (8.22) показывают полную взаимность между переменными t и v: если импульс имеет спектр то импульс имеет спектр Если импульс симметричен, то и спектр

симметричен:

Это — основные формулы, нужные для нашего исследования. Приведем несколько примеров.

Прямоугольный импульс: Спектр:

Сглаженный импульс: Прямоугольный спектр:

Треугольный импульс:

Гауссов импульс: Гауссов спектр:

Соответствующие графики даны на рис. 8.5. Первые два случая являются примерами взаимно-обратных функций и демонстрируют t, v - симметрию в (8.23) и (8.24).

Для интеграла Фурье справедливо равенство Парсеваля, сходное с равенством (8.12), относящимся к ряду Фурье. Мы имеем:

Здесь f(t) было заменено соответствующим интегралом Фурье на основании (8.21). Интегрируя по t и замечая, что

(см. скан)

Рис. 8.5. Примеры функций и их спектров. Эти графики соответствуют формулам (8.25) - (8.28). Следует отметить t, v - симметрию (указанную стрелками) для первых двух случаев и для импульса и спектра в последнем случае.

получаем:

В большом числе физических задач эти интегралы выражают полную энергию колебания и величина F может быть подсчитана как непосредственно по функции f(t), так и по ее фурье-спектру.