ГЛАВА 18. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ

§ 18.1. Гармоническая линеаризация нелинейностей

В этой главе будет изложен метод гармонической линеаризации для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого порядка, который по идее близок к методу эквивалентной линеаризации или методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам — также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.

Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видов нелинейных систем.

Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида

и задано

Тогда

Разложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье, получим

Положим

что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. В настоящей главе будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан метод исследования автоколебаний при наличии постоянной составляющей, т. е. в случае невыполнения условия (18.5).

Если принять во внимание, что из (18.2) и (18.3)

то формулу (18.4) при условии (18.5) можно будет записать в виде

где q — коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами:

Итак, нелинейное выражение (18.1) при заменяется выражением (18.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты постоянны при постоянных значениях , т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением а и со коэффициенты q и изменяются (см.гл. 20). Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6) будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычным способом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто линейным выражениям, которые применялись в предыдущих разделах книги. Указанное обстоятельство позволит путем применения к выражению (18.6) линейных методов исследования проанализировать основные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.

Приведем также формулы гармонической линеаризации для более простой нелинейности:

Здесь возможны два варианта: 1) кривая имеет гистерезисную петлю (например, рис. 16.18, в, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.).

При наличии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается зависимость от знака производной, нелинейная функция после гармонической линеаризации заменяется следующим выражением (при

где

при условии отсутствия постоянной составляющей:

Если же кривая не имеет гистерезисной петли, то так как при будет

(при гистерезисной петле этот интеграл не был нулем вследствие различия в очертании кривой при возрастании и убывании

Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражение (18.8) заменяется более простым:

т. е. криволинейная или ломаная характеристика с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой q зависит от размера амплитуды колебаний а. Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному» с передаточным числом (коэффициентом усиления), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины х.

Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающую отставание по фазе, так как Таким образом, нелинейное отставание по координате в виде гистерезисной петли превращается при гармонической линеаризации в эквивалентное линейное отставание по фазе.

Можно создать специальное нелинейное звено с опережающей петлей, что будет эквивалентно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от размера амплитуды колебаний, чего нет в линейных системах.

В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гармонической линеаризации по отдельности. Произведение же нелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. При этом могут встретиться иного характера нелинейные функции.

Например, при гармонической линеаризации второго из уравнений (16.3) придется иметь дело с функцией при . В этом случае получаем

при условии

Если же функция или функция будет единственной нелинейной функцией в уравнении нелинейного звена, то при гармонической

линеаризации можно положить и

аналогично прежним формулам (18.6) и (18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будет амплитудой колебаний скорости а не самой координаты х. Последняя же будет иметь тогда амплитуду

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, что при симметричных нелинейных характеристиках интеграл можно получить удвоением интеграла , т. е.

а для симметричных относительно начала координат безгистерезисных характеристик при вычислении можно писать

Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев. Затем их можно будет непосредственно использовать при решении различных конкретных задач.

Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдем коэффициенты и уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам (18.10). Возьмем общий вид характеристики релейного звена изображаемой графиком рис. 18.1, а, где есть любое дробное число в интервале

Рис. 18.1.

Как частные случаи будут получены уравнения других типов релейных звеньев.

Если колебания входной величины имеют амплитуду то согласно рис. 18.1, а движения в системе не будет. Если амплитуда то переключения реле происходят в точках А, В, С, D (рис. 18.1, б), в которых имеем

Следовательно, после использования свойств каждый из интегралов (18.10) разбивается на три слагаемых:

причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и будут нулями. Поэтому выражения (18.10) принимают вид

откуда

а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) с полученными здесь значениями и .

Рассмотрим частные случаи.

Для релейного звена с характеристикой без гистерезисной петли, но с зоной нечувствительности (рис. 18.1, а), полагая из вышенаписанных формул получаем

Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис. полагая имеем

Наконец, для идеального релейного звена (рис. 18.1, е), полагая находим

На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейной характеристики. Написанное выражение для q означает замену ломаной характеристики прямолинейной (рис. 18.1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая приблизительно заменяла собой тот участок ломаной который охватывается заданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональная зависимость от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больше амплитуда а колебаний входной величины тем более пологой должна быть прямая приблизительно заменяющая ломаную

Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой на рис. 18.1, г для которой наклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16). Следовательно, всякое безгистерезисное релейное звено в колебательном процессе эквивалентно такому «линейному» звену, передаточное число (коэффициент усиления) которого уменьшается с увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с

Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18.9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прежнему коэффициентом усиления , но, кроме того, еще с введением отрицательной производной в правой части уравнения. Введение отрицательной производной в противовес положительной (см. § 10.2) вносит отставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейным эквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисной петли. При этом

коэффициент при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитуды а колебаний входной величины что и понятно, так как эффект влияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть тем меньше, чем больше амплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной петли.

Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейных звеньев. Рассмотрим нелинейное звено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис. 18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где

интеграл (18.10) на участке разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нулю. Поэтому

откуда с заменой получаем

где определяются формулами (18.19). Ввиду отсутствия гистерезисной петли здесь

Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рис. 18.2, а будет где определяется выражением (18.20).

Рис. 18.2.

Как частный случай отсюда получается значение для звена с зоной нечувствительности без насыщения (рис. 18.2, в). Для этого в предыдущем решении нужно положить и, следовательно, Тогда

Как видим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному звену с уменьшенным за ее счет коэффициентом усиления. Это уменьшение коэффициента усиления значительно при малых амплитудах и невелико при больших, причем при

Для второго частного случая — звено с насыщением без зоны нечувствительности (рис. 18.2, г), - полагая из (18.20) и (18.19) получаем

причем при а — имеем (линейная характеристика). При амплитудах колебания входной величины, захватывающих зону насыщения, данное звено заменяется как бы линейным звеном с тем меньшим коэффициентом усиления , чем больше амплитуда (в противоположность предыдущему).

Для звена с переменным коэффициентом усиления согласно рис. 18.2, д и е по формуле (18.10) с учетом (18.12) получаем

что с заменой дает

Здесь ломаная характеристика (рис. 18.2, д) заменяется одной прямой со средним между наклоном , причем этот наклон изменяется в интервале при увеличении амплитуды . Для амплитуд имеем линейную характеристику с наклоном к

Рис. 18.3.

Для нелинейного звена с насыщением и с гистерезисной петлей (рис. 18.3, а) уравнение получит уже вид (18.9), где согласно рис. 18.3, б и формулам (18.10)

аналогично и для . Отсюда

где

Если в таком нелинейном звене амплитуда колебаний входной величины будет то в процессе колебаний не будет захватываться зона насыщения и получится чисто гистерезисная характеристика (рис. 18.3, в). В данном случае

Уравнение звена с гистерезисной характеристикой вида рис. 18.3, в поэтому будет иметь форму (18.9), где согласно (18.24)

Величина вычисляется по формуле (18.26).

Такого же типа характеристика (рис. 18.3, в) получалась и для чувствительного элемента с сухим трением в системе регулирования давления, рассмотренной в § 16 (см. рис. 16.21, б), когда мы пренебрегали массой. Следовательно, для такого нелинейного звена с сухим трением будут справедливы те же формулы (18.27) с заменой в них только

а уравнение (16.58) для колебательного процесса в форме (18.9) будет

Этого же типа характеристика (рис. 18.3, в) имела место и для нелинейного звена с зазором в следящей системе (см. рис. 16.20, б), причем там . Следовательно, уравнение (16.55) данного нелинейного звена (для колебательного процесса) запишется в виде

где определяются по формулам (18.27), в которых надо считать

Для нелинейностей, не заданных аналитически, существует графический способ определения (см. § 3.8 в книге [100]).