§ 8.8. Интегральные оценки

Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности. Простейшей интегральной оценкой может служить величина

где — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения переходного процесса.

В устойчивой системе при и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (рис. 8.19, а).

Рис. 8.19.

Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки.

Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении , так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда — Карсона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением

Отсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельного перехода :

Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения Если же имеет место колебательный процесс (рис. 8.19, б), то при

вычислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраически минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка:

т. е. сумма абсолютных величин всех площадей по кривой переходного процесса. Но оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно.

Квадратичная интегральная оценка.

В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке, называемой иногда «квадратичной площадью» регулирования:

которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной).

Рис. 8.20.

Величина I (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на рис. 8.20 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучшей, но пока остановимся на ней.

Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкой регулирования. Ее можно записать в безразмерном виде:

где обозначает отклонение регулируемой величины в переходном процессе от ее нового установившегося значения: — некоторая величина, имеющая размерность регулируемой величины, например статическое отклонение — среднегеометрическое значение корня характеристического уравнения (8.26).

Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразном внешнем воздействии.

В общем случае дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования (в символической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид

где — регулируемая величина или ее отклонение, — задающее и возмущающее воздействия.

Степени многочленов обычно ниже, чем ; в некоторых случаях они могут иметь ту же степень, что и полином . Пусть переходный процесс вызывается единичным скачком либо функции при либо функции при . Положим, например, что рассматриваем скачок задающего воздействия Изображение

Лапласа такого скачка будет Перейдя в формуле (8.58) к изображениям, получаем

Изображение регулируемой величины представляет собой дробнорациональную функцию:

Отклонение х регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет

где есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60).

Для изложенных условий при ниже без вывода приводится формула [121], по которой может быть вычислена квадратичная интегральная оценка:

где А есть следующий определитель -го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме):

На границе устойчивости

Через в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе столбца столбцом

Коэффициенты вычисляются по формулам:

В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше а в формулах (8.64) — с индексами меньше нуля и больше .

В том случае, когда формула (8.61) заменяется следующей:

где

При поступлении на вход системы единичного импульса изображение которого по Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в виде дробно-рациональной функции (8.60). Разница будет заключаться только в том, что степень числителя возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя Это обусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действии единичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножению на комплексную величину .

В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульса можно рассматривать в виде выражения

где — весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, — отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия.

Таким образом, техника вычисления оценки Г полностью совпадает с вычислением оценки I по формуле (8.61) или (8.65). Совпадает при этом и значение определителя Отличаться в вычислениях будут определители и коэффициенты или что обусловлено повышением степени в выражении (8.60) на единицу при вычислении Г по сравнению со случаем вычисления

Интегральная оценка Г также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57):

Интегральные оценки (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. При этом наилучшими параметрами считаются такие, при которых величина или имеет минимальное значение.

Вычисление квадратичных интегральных оценок можно также производить на основании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11. Здесь она будет приведена без доказательства.

Если есть изображение Фурье функции времени , то существует зависимость

интегрирование квадрата функции по времени в пределах от нуля до бесконечности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. При нахождении интегральной оценки соответствующей реакции системы на входное задающее воздействие типа изображение Фурье исследуемого отклонения будет

где — частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда

В астатических системах и статических системах с неединичной обратной связью или с масштабированием (см. § 9.3) установившееся значение Тогда формула (8.69) будет иметь вид

где — частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

Аналогичным образом для входного задающего воздействия типа единичного импульса , изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонения равно частотной передаточной функции замкнутой системы: . В результате получаем

Рис. 8.21.

Подобные выражения могут быть получены и для входного возмущающего воздействия, если вместо частотной передаточной функции использовать передаточную функцию по возмущающему воздействию

Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 8.21, имеют одно и то же значение квадратичной интегральной оценки (8.56).

Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся уже при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению

Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости.

Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 8.22, а. Очевидно, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса к ломаной линии . Но приближение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой в начальной стадии процесса (приближение части кривой к отрезку

Рис. 8.22.

Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости.

Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид

где Т — некоторая постоянная времени.

Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы регулирования по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем следующие преобразования:

где — начальное значение отклонения в переходном процессе.

Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия

Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид

где — установившееся отклонение регулируемой величины.

Этот процесс изображен на рис. 8.22, б пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Г, которая носит в этом случае название экстремали. Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т.

Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56).

Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часть разбивается на два слагаемых:

При входном воздействии типа единичной ступенчатой функции первое слагаемое последнего выражения соответствует интегральной оценке а второе — Поэтому в результате получаем для этого случая

Улучшенная интегральная оценка может также применяться в безразмерном виде аналогично (8.57) и (8.68):

где — среднегеометрический корень характеристического уравнения, некоторая величина, имеющая размерность , например статическое отклонение

Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как так и является их выражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в буквенном виде при высокой степени характеристического уравнения. В этих случаях можно использовать имеющиеся специальные приемы числовых расчетов. Сам определитель А (8.62), как старший определитель Гурвица, согласно § 6.2 имеет вид

Несколько сложнее вычисляется только определитель когда первый столбец А (8.62) с одним элементом заменяется столбцом (8.63) с двумя элементами Все остальные определители оказываются проще.

Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи.

В принципе возможно использование более сложных выражений, чем (8.72), в которые кроме первой производной от отклонения будут входить вторая, третья и т. д. производные. Так, например, ограничившись при подаче ступенчатого воздействия или отклонением х, первой производной х и второй производной х, получим интегральную оценку в виде

Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к экстремали, определяемой решением дифференциального уравнения

Экстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента, что позволяет точнее задать желаемый вид переходного процесса.

Однако нахождение интегральных оценок вида

к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено со значительными трудностями, что ограничивает их применение.

Определение минимума интегральной оценки.

Пусть требуется, исходя из минимума какой-нибудь интегральной оценки, выбрать два каких-нибудь параметра заданной автоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциального уравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение соответствующей интегральной оценки. Это выражение, если все параметры «системы заданы, кроме имеет вид

Для определения значений соответствующих минимуму I, вычисляем частные производные по и приравниваем их нулю. В результате получаем два уравнения:

с двумя неизвестными . Отсюда и определяются искомые значения параметров . Чтобы убедиться в том, что это действительно минимум, а не максимум, можно вычислить значение I при полученных значениях а затем при каких-нибудь соседних. Последние должны оказаться больше. Аналогично можно поступить и при выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки.

Функция не всегда обладает минимумом по рассматриваемым параметрам. Тогда нужцо выбирать их по наименьшему значению интегральной оценки I внутри области, назначаемой из других соображений.

Важно также иметь в виду, что выражение интегральной оценки через выбираемые параметры системы в буквенном виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследования в общем виде. В таких случаях можно поступить иначе: задавать несколько числовых значений одного из выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять для каждого из них значения I (или ). В результате будет видно, при каких значениях данного параметра получается (можно для наглядности построить график величины I в зависимости от выбираемого параметра). Аналогично нужно поступить и с другими выбираемыми параметрами системы.

В конкретных расчетах всегда надо учитывать, что одновременно с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические «свойства системы и, во-вторых, проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости, так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости.

Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение третьего порядка

где входное задающее или возмущающее воздействие. Пусть входное воздействие Тогда изображение по Лапласу регулируемой величины будет

Установившееся значение регулируемой величины здесь будет

Вычислим для этого случая интегральную оценку I. Так как то в соответствии с формулой (8.61) имеем

Далее по выражению (8.62) находим определитель

Для нахождения необходимо первый столбец определителя заменить на (8.63):

По формуле (8.64) находим единственный коэффициент

В результате получаем значение интегральной квадратичной оценки:

Это выражение и служит для выбора параметров системы, входящих в коэффициенты из условия минимума величины

Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки на плоскости параметров Вышнеградского А и В. Согласно § 8.7

Подставив это выражение в (8.78), получим

Найдем безразмерную оценку в соответствии с формулой (8.57). Подставляя значение среднегеометрического корня получаем

При это дает на плоскости параметров Вышнеградского кривую

Построенные по этому уравнению кривые постоянных значений оценки нанесены на диаграмме (рис. 8.23). Там же пунктиром нанесены кривые, взятые из диаграммы Вышнеградского (рис. 8.15), показывающие области колебательного монотонного (II) и апериодического (III) процессов. Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю частные производные:

что

откуда находим . Следовательно, минимум квадратичной интегральной оценки имеет место в точке D (рис. 8.23). Эта точка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, что может не обеспечить необходимого запаса устойчивости (см., например, рис. 8.18). Практически лучше брать параметры системы не точно в точке а несколько правее и выше.

Этот результат имеет смысл, однако, только в тех случаях, когда остаются постоянными, а выбираемые параметры системы входят только в коэффициенты уравнения (8.77).