§ 12.5. Метод логарифмических амплитудных характеристик

Наиболее приемлемы для целей синтеза логарифмические амплитудные характеристики, так как построение л. а. х., как правило, может делаться почти без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические л. а. х.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции.

1. Построение желаемой л. а. х. Построение желаемой л. а. х. делается на основе тех требований, которые предъявляются к проектируемой системе регулирования. При построении желаемой л. а. х. необходимо быть уверенным, что вид амплитудной характеристики полностью определяет характер переходных процессов и нет необходимости вводить в рассмотрение фазовую характеристику. Это будет выполняться в случае минимальнофазовых систем. В этом случае амплитудная характеристика однозначно определяет вид фазовой характеристики. Напомним, что передаточная функция разомкнутой минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных в правой полуплоскости (см. § 4.8).

2. Построение располагаемой л. а. х. Под располагаемой л. а. х. понимается характеристика исходной системы регулирования, построенной исходя из требуемых режимов стабилизации или слежения, требуемых выходной мощности, скорости, ускорения и т. Обычно под исходной системой понимается система, состоящая из регулируемого объекта и регулятора и не снабженная необходимыми корректирующими средствами, обеспечивающими требуемое качество переходного процесса. Исходная система должна быть также минимально-фазовой.

3. Определение вида и параметров корректирующего устройства. Наиболее просто определяется корректирующее устройство последовательного типа. Если желаемая передаточная функция разомкнутой системы , располагаемая — и передаточная функция корректирующего звена последовательного типа то можно записать равенство

откуда

Для л. а. х. можно записать

Таким образом, при использовании л. а. х. весьма легко осуществляется синтез последовательных корректирующих средств, так как л. а. х. корректирующих средств получается простым вычитанием ординат располагаемой л. а. х. из ординат желаемой.

4. Техническая реализация корректирующих средств. По виду л. а. х. необходимо подобрать схему и параметры корректирующего звена последовательного типа. В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или эквивалентную обратную связь по формулам, которые приведены в § 10.4.

5. Поверочный расчет и построение переходного процесса. В случае необходимости полученная система регулирования вместе с корректирующими средствами может быть исследована обычными методами анализа.

Ниже приводится краткое изложение метода синтеза, разработанного В. В. Солодовниковым [121] для следящих систем с астатизмом первого порядка.

В основу синтеза положены следующие показатели качества;

1) перерегулирование при единичном ступенчатом воздействии на входе;

2) время переходного процесса

3) коэффициенты ошибок

В рассмотрение вводится типовая вещественная частотная характеристика замкнутой системы (рис. 12.5). Эта характеристика описывается следующими величинами: основной коэффициент наклона; — дополнительные коэффициенты наклона; основной и дополнительный коэффициенты формы; — интервал положительности.

Рис. 12.5.

Рис. 12.6.

Если в следящей системе с приемлемыми динамическими качествами для вещественной частотной характеристики выполняются условия:

то, как показало построение соответствующих типовых вещественных характеристик переходных процессов, величина перерегулирования в основном определяется величиной . В этом случае перерегулирование и время переходного процесса могут быть определены по кривым, приведенным на рис. 12.6.

Таким образом, на основании заданного перерегулирования можно определить и затем по зависимость между временем переходного процесса и частотой соответствующей интервалу положительности вещественной характеристики. По заданному значению легко определяется требуемое значение

Однако отрицательная часть вещественной характеристики также влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину . Это можно учесть, положив . Тогда по кривой, изображенной на рис. 12.6, можно найти допустимые значения и , при которых суммарное перерегулирование не будет превосходить заданного значения

В табл. 12.5 приведены некоторые типовые значения Ртах и соответствующие им качественные показатели замкнутой системы.

Таблица 12.5

После нахождения основных величин для типовой вещественной характеристики переходят к формированию желаемой логарифмической амплитудной характеристики. При этом очевидно, что фазовая характеристика разомкнутой системы должна так проходить, чтобы обеспечивалась не только устойчивость, но и определенный запас устойчивости.

Рис. 12.7.

Вещественная характеристика замкнутой системы связана с частотной передаточной функцией разомкнутой системы зависимостью

Задаваясь различными значениями на комплексной плоскости можно построить кривые, дающие связь между вещественной и мнимой частями или между ее модулем и фазой (или запасом по фазе). На рис. 12.7 приведено подобное семейство кривых для амплитуды, откладываемой

в децибелах. Цифры около соответствующих кривых указывают значение . Если на этом графике нанести амплитудно-фазовую характеристику системы, то по точкам пересечения с кривыми можно построить вещественную характеристику.

Кривые, приведенные на рис. 12.7, позволяют сформулировать требования к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, которые необходимо выполнить, чтобы обеспечить получение желаемой типовой характеристики.

Так, например, если необходимо, чтобы то максимальная и минимальная ординаты вещественной характеристики в соответствии с табл. 12.5 не должны превышать значений (ориентировочно) . Это означает, что логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика, нанесенная на рис. 12.7, не должна заходить в области, ограниченные кривыми с отметками 1,2 и 0,2. Сформулированное условие будет выполняться, если амплитудно-фазовая характеристика не будет заходить в прямоугольник, образованный горизонтальными линиями и вертикальной линией (или в величинах запаса по фазе ).

В соответствии с этим на рис. 12.8 построены кривые, которые позволяют при заданном значении перерегулирования выбирать требуемое значение запаса по модулю и запаса по фазе

Рис. 12.8.

Рис. 12.9.

Построение желаемой асимптотической л. а. х. производится в следующем порядке.

Первая низкочастотная асимптота проводится так, чтобы она имела наклон соответствующий астатизму первого порядка (рис. 12.9). Продолжение асимптоты должно пересечь ось частот при частоте, равной желаемой добротности по скорости:

где — заданный коэффициент ошибки.

При однократном изломе в точке В первая сопрягающая частота определяется по формуле

где добротность системы по ускорению, а при двукратном изломе — по формуле

Далее по найденной из рис. 12.6 частоте положительности определяется частота среза л. а. х. так, чтобы она удовлетворяла условию

Среднечастотный участок желаемой л. а. х. образуется асимптотой с наклоном проводимой так, чтобы она пересекала ось частот при . Этот участок проводится влево и вправо до достижения модулей, равных (рис. 12.9). Затем производится сопряжение среднечастотного участка с низкочастотными асимптотами и высокочастотной частью.

Для облегчения построения желаемой л. а. х. вводятся типовые передаточные функции и им соответствующие л. а. х. Они даны в табл. 12.6.

Таблица 12.6. Типовые передаточные функции и л. а. х.

Передаточные функции и л. а. х. всех четырех типов полностью определяются заданием четырех величин: коэффициента усиления К и трех сопрягающих частот (рис. 12.10). Л. а. х. полностью определяется также заданием следующих четырех величин: коэффициента усиления в децибелах при частоте частоты среза соср и двух относительных сопрягающих частот

К малым параметрам (рис. 12.9) относятся те постоянные времени системы, пренебрежение влиянием которых не сказывается существенно на динамических качествах системы. Обычно считают, что в качестве «малых» постоянных времени можно принять такие, которые удовлетворяют условию

При построении желаемой л. а. х. нужно следить, чтобы она как можно меньше отличалась от располагаемой л. а. х., что нужно для упрощения корректирующих средств. Это замечание особенно относится к низкочастотной и высокочастотной частям л. а. х. Желательно делать так, чтобы по крайней мере первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих л. а. х. сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот л. а. х. достигается за счет выбора соответствующего коэффициента усиления в системе К, равного требуемому.

Рис. 12.10.

Совпадение высокочастотных асимптот достигается соответствующим выбором желаемой л. а. х. в высокочастотной области. Заметим, что при формировании желаемой л. а. х. можно увеличивать, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю так как такое увеличение только повысит качество системы.

После формирования всей желаемой л. а. х. необходимо проверить, выдерживается ли требуемое значение запаса по фазе, определяемое из графика на рис. 12.8, для модулей, лежащих в пределах

Для этой проверки необходимо подсчитать фазовый сдвиг в двух крайних точках среднечастотного участка, имеющего наклон —20 дб/дек, т. е. при частотах и Подсчет фазового сдвига делается на основании принятой желаемой передаточной функции. Так, например, для передаточной функции типа I (см. табл. 12.6) он равен

Если требуемый запас по фазе не выдержан, то необходимо расширить среднечастотный участок и произвести вновь проверку.

Чтобы окончательно убедиться в приемлемости сформированной л. а. х., можно по известной желаемой передаточной функции построить любым методом переходный процесс и проверить величины

Далее из ординат желаемой л. а. х. вычитаются ординаты располагаемой л. а. х. Получившаяся л. а. х. соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено (см. главу 10).