§ 8.10. Чувствительность систем регулирования

Действительные значения параметров системы регулирования практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы регулирования. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.

Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторый показатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного ее параметра от номинального, или исходного, значения. В качестве оценки чувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляющие собой частные производные координаты системы по вариации параметра,

или частные производные от используемого критерия качества I по параметру,

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим номинальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик.

Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

Рассмотрим мгновенные вариации параметров так что параметры приняли значения Если изменения параметров не вызывают изменения порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

Для дополнительного движения можно записать

При условии дифференцируемости по параметрам дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям при

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.

При значительных вариациях Да может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по приводит к так называемым уравнениям чувствительности

Решение этих уравнений дает функции чувствительности Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности [21, 53, 111].

Обратимся теперь к линейным системам. Не снижая общности рассуждений, можно рассматривать случай изменения одного параметра.

В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени на выходе системы. Так, если

передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

При поступлении на вход ступенчатой функции на будет

Пусть, например, вариацию претерпевает постоянная врелхени Тогда дифференцирование последнего выражения по даст функцию чувствительности по этому параметру

Дополнительное движение при этом будет где — вариация постоянной времени

Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

где постоянные коэффициенты, — фазовые координаты, а — внешние воздействия. Начальные условия в системе: при Уравнения чувствительности получаются из (8.101) дифференцированием по варьируемому параметру от которого могут зависеть коэффициенты

где — частные производные от коэффициентов системы уравнений (8.101) по варьируемому параметру Уравнениям (8.102) соответствуют начальные условия Если начальные условия не зависят от параметра то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

Для решения (8.102) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8.101) и определить исходное движение

Для нахождения функций чувствительности и дополнительного движения удобно использовать передаточные функции системы. Пусть, например, регулируемая величина связана с задающим воздействием зависимостью

где — изображение задающего воздействия.

Функция чувствительности может быть получена из (8.103) дифференцированием по параметру

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

которая определяет первое приближение дополнительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходной передаточных функций при вариации параметра

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а, не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Рис. 8.32.

Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности

Формула (8.107), строго говоря, может использоваться в тех случаях, когда представляют собой безразмерные величины. Если эти величины размерны, то их логарифмирование возможно, если использовать прием, указанный в § 4.4.

Найдем дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

где — вариации полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Формула (8.108) позволяет составить структурную схему модели чувствительности в виде, изображенном на рис. 8.32. Эта схема может быть использована для нахождения функции дополнительного движения или функции чувствительности и расчетным путем или моделированием на ЭВМ.

Рис. 8.33.

Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутой системы

при вариации параметра . В соответствии с изложенным находим . Равенство приращений числителя и знаменателя позволяет упростить схему модели. Она изображена на рис. 8.33, а в исходном, а на рис. 8.33, б — в преобразованном виде.

В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьируемых параметров, дополнительная передаточная функция

Если к системе приложено несколько внешних воздействий то следует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных функций, определенных для каждого внешнего воздействия.

Функции чувствительности критериев качества.

Если в системе произошли изменения ряда параметров то результирующее изменение некоторой используемой оценки качества

где I — варьированное значение оценки качества, ее исходное значение, можно подсчитать по формуле полного дифференциала

Так как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки вариаций то целесообразно использование вероятностных методов. Так, если известны максимальные возможные отклонения то при их независимости друг от друга можно найти среднеквадратичный максимум отклонения оценки качества

и среднеквадратичный относительный максимум

Если заданы дисперсии отклонений параметров и отклонения независимы, то можно найти дисперсию оценки качества

В качестве критериев оценки качества системы могут использоваться, например, максимум ошибки, коэффициенты ошибок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральные оценки и т. п.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет

Требуется определить среднеквадратичный максимум отклонения показателя колебательности, если сек, причем изменения параметров независимы.

Определим вначале исходное значение показателя колебательности. Для этого необходимо найти максимум модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Исследование на максимум дает: при показатель колебательности при показатель колебательности

Функции чувствительности, если

Среднеквадратичный максимум отклонения (8.113)

Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности .