§ 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулирования

В импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е. корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границей устойчивости является мнимая ось (рис. 15.16, а).

Рис. 15.16.

Для построения области устойчивости в плоскости комплексной величины z отобразим мнимую ось плоскости величины на плоскость Для этой цели в соответствии с методом -разбиения необходимо сделать подстановку и менять затем частоту в пределах от до . Таким образом, получаем

При изменении частот в указанных пределах на плоскости z получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б).

Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы внутри этой окружности. Следовательно, корни характеристического уравнения

должны быть ограничены по модулю , что совпадает с результатом § 15.1.

Так, например, для характеристического уравнения первого порядка

очевидное условие устойчивости будет

Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка

путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости;

Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения задачи иногда используется так называемое -преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины Для преобразования используется подстановка

или, соответственно,

Сделав подстановку получаем из (15.163)

где представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота

При малых частотах и псевдочастота . Поэтому при выполнении условия можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, что может быть использовано, в частности, при расчетах установившихся ошибок при гармоническом входном сигнале.

Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах — псевдочастота пробегает все значения от до , а комплексная величина движется по оси мнимых от до Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость (рис. 15.16, в). Поэтому для передаточной функции с -преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15.160). Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду

На основании алгебраического критерия (см. § 6.2) условие устойчивости для уравнения второго порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюда получаются условия (15.161).

Заметим также, что применение -преобразования и псевдочастоты X приводит передаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использования метода логарифмических частотных характеристик.

Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, полученную как на основе z-преобразования, так и на основе -преобразования. И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не должна охватывать точку При использовании передаточной функции

амплитудно-фазовая характеристика становится периодической функцией с периодом

Пусть, например, дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Получим частотную передаточную функцию подстановкой :

В координатах амплитудно-фазовая характеристика будет представлять собой вертикальную прямую линию, отстоящую влево от начала координат на величину Граница устойчивости будет при прохождении этой прямой через точку Отсюда можно получить условие устойчивости

Получим теперь частотную передаточную функцию на основе -преобразования. Для этого в формуле (15.167) применим подстановку (15.162). В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы как функцию комплексной величины

Частотная передаточная функция разомкнутой системы при подстановке

Нетрудно видеть, что частотная передаточная функция (15.170) в зависимости от псевдочастоты имеет более простой вид по сравнению с (15.169). По выражению (15.170) может быть, в частности, просто построена асимптотическая л. а. х.

Подобным же образом могут быть получены дискретные передаточные функции а также частотные передаточные функции

Оценка качества импульсной системы регулирования может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании z-преобразования осуществляется сравнительно легко (§ 15.2), а также посредством различных критериев качества. Наиболее простым является использование показателя колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как и в случае непрерывных систем, получение заданного показателя колебательности сводится к требованию, чтобы амплитудно-фазовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающую точку в соответствии с рис. 8.27.

Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда

где коэффициенты ошибок представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке в ряд Маклорена

по степеням , т. е.

Величины, обратные множителям при производных выражения (15.171), по аналогии с непрерывными системами могут называться соответствующими добротностями. Например, добротность по скорости

добротность по ускорению

Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

где

Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывной части

и с приведенной передаточной функцией (15.136)

Находим передаточную функцию по ошибке:

Подстановка в это выражение или дает коэффициент Для получения коэффициента находим первую производную:

Подстановка дает коэффициент

а также добротность по скорости

Периодические режимы.

Если на входе замкнутой импульсной системы (рис. 15.11) действует синусоидальная последовательность

то расчет синусоидальных последовательностей может быть сделан на основе формул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы.

Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки)

и сдвиг по фазе

В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. § 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник:

где — целая часть 4, а коэффициенты разложения

Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для синусоидальной последовательности. Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать

где — значение частотной передаточной функции, полученное из подстановкой

Аналогичным образом по передаточной функции может быть получена для установившегося режима выходная величина

Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающее воздействие представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (15.113)

где — изображение на интервале Пусть рассматриваемая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией . Тогда изображение выходной величины

можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей и установившегося периодического режима . Первая составляющая определяется полюсами функции и с течением времени затухает, так как система предполагается устойчивой.

Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде

где — изображение на интервале в установившемся режиме, которое и является искомой величиной, коэффициенты должны быть определены при разложении на сумму дробно-рациональных функций . Для этой цели могут использоваться известные методы, например теорема разложения. Так, если степень равна

степени то

где — корни уравнения

Однако пользоваться этой формулой при практически неудобно. При удобнее найти переходную составляющую а затем периодическую; Далее можно найти

Так как полюсы известны, то отыскание переходной составляющей не представляет труда. Так, например, если степень числителя меньше степени знеменателя и полюсы не кратные, то

где — полюсы

Если степень числителя одинакова со степенью знаменателя но числитель имеет общий множитель то можно записать

Тогда

Другие возможные случаи — см. § 15.2, п. 13.

Если входное воздействие представляет собой симметричную периодическую последовательность с полупериодом изображение которой дается формулой (15.114), то аналогичная зависимость для изображения периодической последовательности выходной величины на интервале будет

где — переходная составляющая, определяемая полюсами

Пример. Рассмотрим входную последовательность в виде прямоугольной волны (рис. 15.10, в), но с полупериодом и систему с передаточной функцией

Изображение периодической последовательности на входе (15.114)

Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15.180), учитывая, что имеет единственный полюс имеем

Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет . В следующем полупериоде будет