§ 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному

Для типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение неоднородного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правой части переходом к другой переменной. Примем» что (?), причем единица имеет размерность переменной, стоящей в правой части (7.4). Тогда установившееся значение переменной х при можно найти из (7.4), положив все производные равными нулю:

Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение неоднородного уравнения (7.4), т. е. .

Введем новую переменную

Решение неоднородного уравнения (7.4) для может быть записано в виде

что подобно решению типа (7.6). Этому решенщо соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части

Из уравнения (7.8) нетрудно определить связь между начальными условиями для исходной переменной х и новой переменной z при

После нахождения решения для переменной z по формуле (7.8) можно легко вернуться к исходной переменной х смещением решения на величину

Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторного многочлена в правой части (7.4) равна нулю и дифференциальное уравнение (7.4) имеет вид

Это происходит потому, что, вообще говоря, необходимо различать начальные условия, которые существовали в системе до приложения возмущения, т. е. при времени и непосредственно сразу после его приложения, т. е. при времени Остановимся на этом вопросе более подробно в случае приложения возмущения типа ступенчатой функции.

Для простоты расчетов для времени почти всегда принимают нулевые начальные условия, т. е. и т. д. В дальнейшем под нулевыми начальными условиями будем понимать именно эти равенства.

Начальные условия, которые будут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. при (обозначим их и т. д.), можно определить из исходного дифференциального уравнения (7.4). Не останавливаясь на доказательстве, приведем конечные результаты. Для первых начальных условий имеют место равенства

Таким образом, для самой координаты и первых производных нулевые начальные условия сохраняются и после приложения ступенчатой функции.

Для остальных начальных условий выполняются соотношения

Эти формулы показывают, что только при , т. е. для дифференциального уравнения при скачке , начальные условия при соответствуют начальным условиям при формулах (7.12) множитель 1 имеет размерность величины Если воздействие прикладывается в виде скачка, не равного единице, то вместо 1 следует поставить величину скачка.

Пример. Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях, т. е. переходную функцию, если дифференциальное уравнение имеет вид

Для простоты примем, что переменная х является безразмерной величиной. Решая характеристическое уравнение находим корни:

Согласно заданным условиям . Так как в данном случае то начальные условия для , в соответствии с (7.11) и (7.12), будут

Определяем установившееся значение искомой координаты:

Введем новую переменную Начальные условия для новой переменной:

На основании табл. 7.1 для и случая комплексных корней имеем

где

Таким образом

Возвращаясь к исходной координате, получаем переходную функцию

Аналогичным образом можно осуществить переход от неоднородного дифференциального уравнения (7.4) к уравнению без правой части при воздействии типа импульсной функции. В этом случае установившееся значение так как в случае при будет . Поэтому нет нужды вводить новую смещенную величину и задача заключается только в отыскании начальных условий при

Так как единичная импульсная функция является производной от единичного скачка то формулы пересчета начальных условий можно получить из (7.11) и (7.12), если заменить в них на и положить Тогда вместо (7.11) для первых начальных условий получим

и вместо (7.12) для всех остальных начальных условий

В формулах (7.14) единица имеет размерность импульса величины т. е. размерность умноженную на время. Если воздействие поступает в виде неединичного импульса, то в эти формулы вместо единицы необходимо подставить заданную величину импульса.

Как видно из (7.14), при воздействии в виде импульса, в отличие от скачка, даже для дифференциального уравнения вида не будет равенства начальных условий для так как будет скачок в значении производной. Скачок же первой производной т. е. перелом кривой, будет уже при скачок самой величины х — при

Пример. Найдем реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях, т. е. функцию веса для дифференциального уравнения, приведенного в предыдущем примере (стр. 233).

Так как в рассматриваемом примере то в соответствии с (7.14) получим

В соответствии с табл. 7.1 для 2 и комплексных корней

где

Окончательно получаем функцию веса

Этот результат можно было получить также непосредственным путем для , полученного в предыдущем примере, так как