§ 16.2. Уравнения систем с нелинейностью релейного типа

Следуя сделанным в § 16.1 замечаниям, приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа.

Система автоматического регулирования напряжения.

Пусть имеется шунтовой генератор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 16.16.

Рис. 16.16.

Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, сопротивление, обозначенное через выключено из цепи возбуждения генератора 1. Система рассчитана так, что при этом напряжение на клеммах генератора возрастает (при любой реально возможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор). В результате увеличивается ток в катушке 2 электромагнитного реле и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контакты . При разомкнутых же контактах К в цепь возбуждения включено сопротивление Это вызывает снижение напряжения а значит уменьшение тока и отпускание реле, в результате чего контакты К снова замыкаются, выключая тем самым сопротивление из цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение регулируемой величины производится установкой сопротивления

Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде:

где — изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие). Постоянная времени и коэффициент определяются параметрами якоря и цепи возбуждения.

Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишем в виде

Начало отсчета величин отклонений будет определено ниже.

Регулирующий орган (контакты К, скачком включающие и выключающие сопротивление является нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его — сопротивление цепи возбуждения — меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, т. е. в зависимости от величины тока в цепи катушки 2 электромагнитного реле.

Рис. 16.17.

Это изображено на рис. 16.17, а, где — токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена удобно, как всегда, ввести отклонения от некоторых постоянных значений . Как указано на рис. 16.17, а, принимаем

Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, 6, симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей).

В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17, б) будет

где выражение обозначает знак величины Формулы (16.36) и (16.37) отвечают соответственно движению вправо по линии (рис. 16.17) и влево по линии причем в точках С и D происходит переключение реле (перескоки в точки Е и В соответственно).

Уравнения линейной части системы (16.33) и (16.34), имея в виду исследовать переходный процесс при объединим в одно:

Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима

с использованием реальных характеристик генератора.

Система автоматического регулирования курса водяной торпеды.

Возьмем описанную в § 1.3 простейшую схему (рис. 1.20). Уравнение вращения

торпеды вокруг вертикальной оси (рыскание по курсу) как регулируемого объекта запишем приближенно в виде

где — угол отклонения торпеды от заданного направления, — ее момент инерции относительно вертикальной оси, — момент сопротивления среды (воды), — момент руля, — угол поворота руля. Разделив (16.39) на получим уравнение регулируемого объекта в виде

где

Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет

где — величина перемещения заслонки из нейтрального положения.

Будем считать, что поршень рулевой машинки 3 (рис. 1.20) при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое.

Рис. 16.18.

В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (16.40) и (16.41). Единое уравнение линейноц части системы поэтому будет

Рулевая машинка вместе с рулем (привод и регулирующий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде (рис. 16.18, а)

либо, если имеетсязаметная зона нечувствительности (рис. 16.18, б), в виде при

либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в),

либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием (рис. 16.18, г)

где

причем — время запаздывания срабатывания реле.

При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы.