§ 6.7. Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями

В практике встречаются двумерные системы регулирования с антисимметричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 6.28. Она содержит два идентичных канала с одинаковыми передаточными функциями и антисимметричные связи.

Рис. 6.28.

Рис. 6.29.

К такому виду сводятся некоторые гироскопические устройства, двухканальные системы слежения и др.

Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей-столбцом ошибок выражением

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Здесь I — единичная матрица 2x2.

Уравнение (6.39) можно представить в другом виде:

где корни уравнения (6.39)

Исследование (6.40) сводится к рассмотрению двух уравнений: . Формально здесь может быть использован, например, критерий Найквиста, но вместо точки комплексной плоскости которая соответствует обычной записи характеристического уравнения необходимо рассматривать две точки, соответствующие комплексным числам

На рис. 6.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а. ф. х. частотной передаточной функции и комплексные числа,

соответствующие и Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф. х. устойчивого или нейтрально-устойчивого в разомкнутом состоянии одного изолированного канала не будет охватывать точек комплексной плоскости, соответствующих

Колебательная граница устойчивости будет иметь место, если выполняется одно из равенств: или

Из (6.41) нетрудно видеть, что при обе точки стягиваются в одну точку что соответствует обычной формулировке критерия

Найквиста.

Другой метод расчета устойчивости заключается в том, что вводятся в рассмотрение комплексные величины

Матричная зависимость (6.38) дает два равенства:

Умножая второе равенство на и складывая, получаем для комплексных величин

Здесь введена эквивалентная передаточная функция разомкнутой двумерной системы

Для дальнейшего расчета может использоваться критерий Найквиста в своей обычной формулировке.

Рис. 6.30.

Однако при построении а. ф. х. частотной передаточной функции она оказывается повернутой по сравнению с исходной а. ф. х. величины почасовой стрелке на угол . Это соответствует введению дополнительного фазового сдвига, что приближает а. ф. х. к точке и снижает запас устойчивости (рис. 6.30, а). Кроме того, оказывается в раз больше что также способствует снижению запаса устойчивости.

При поворот а. ф. х. будет против часовой стрелки и к точке будет приближаться верхняя ветвь а.ф. х., соответствующая отрицательным

частотам (рис. 6.30, б). Это также соответствует снижению запаса устойчивости.

Заметим, что и в случае перехода к комплексным величинам у и х можно произвести расчет по а. ф. х. исходной одноканальной системы В этом случае колебательная граница устойчивости будет при выполнении условия

Условие (6.46) сводится к равенству

что согласуется с первым методом расчета устойчивости.

Рассмотренные методы позволяют упростить определение устойчивости двумерной системы по сравнению с использованием результирующего характеристического уравнения (6.39), так как требуют рассмотрения передаточной функции одного изолированного канала.