§ 15.5. Случайные процессы в импульсных системах

Введем понятие случайной решетчатой функции которую можно образовать из непрерывной случайной функции ее дискретизацией. В этом случае она будет определена в дискретные моменты времени Будем рассматривать стационарные процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от времени.

Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса

или на основании эргодического свойства

где - одномерная плотность вероятности.

Для центрированных процессов среднее значение равно нулю.

Введем понятие корреляционной функции

Аналогично главе И можно сформулировать основные свойства корреляционной функции.

1. Для случая

2. При корреляционная функция достигает наибольшего значения:

3. Корреляционная функция является четной:

При наличии двух случайных процессов можно ввести понятие взаимной корреляционной функции

Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных процессов.

Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного решетчатого процесса как двустороннего z-преобразования корреляционной функции

где Т — нормирующий множитель, равный периоду дискретности, представляет собой z-преобразование корреляционной функции Нормирующий множитель Т введен в (15.188) для того, чтобы сделать физическую размерность спектральной плотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл.

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой частоты

или при учете четности

Наконец, можно определить спектральную плотность как функцию абсолютной псевдочастоты. Для этого в формуле (15.188) необходимо перейти к -преобразованию, используя подстановку (15.163), а затем перейти к псевдочастоте посредством подстановки . В результате получим

Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов.

Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая , тогда рассматривается случайная решетчатая функция корреляционная функция спектральные плотности .

Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины. Можно показать [136], что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид

Так как имеют место равенства

то формула (15.192) может быть записана в виде

Выражение (15.193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см. приложение 2).

Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корреляции

меньше периода дискретности, Атто такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией

где — дисперсия, а — единичная решетчатая импульсная функция (15.32), равная единице при и равная нулю при . Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

Если эффективное время корреляции то корреляционная функция может быть получена из соответствующей корреляционной функции непрерывного процесса заменой Спектральная плотность может быть получена использованием формул (15.188) — (15.191).

В табл. 15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы.

Таблица 15.2

Прохождение сигнала через линейную систему.

Пусть на входе линейного звена с известной дискретной передаточной функцией действует случайная функция для которой известны корреляционная функция и спектральная плотность или . Тогда для выходной величины аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала

на квадрат модуля частотной передаточной функции;

Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с (15.192) и (15.193) позволяет найти средний квадрат выходной величины Это позволяет для замкнутой импульсной системы производить расчеты, аналогичные изложенным в § 11.8. Так, например, пусть в схеме, изображенной на рис. 15.11, на входе действуют полезный сигнал и помеха не коррелированные между собой. Обозначим их спектральные плотности . Тогда спектральная плотность ошибки

где — частотные передаточные функции замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке.

Интегрирование (15.198) по всем частотам в соответствии с (15.193) дает средний квадрат ошибки

Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и для других возможных случаев (см. § 11.8).