§ 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессов

Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно по следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и по ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянными параметрами (§ 8.4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия, и склонность системы к колебаниям.

Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы регулирования при заданных входных воздействиях, не производя при этом каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса.

Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу нахождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описывается уравнением не выше второго порядка.

Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемым квазистационарным системам, или системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференцальному уравнению первого порядка

Это уравнение имеет аналитическое решение

где

а С — постоянная интегрирования.

Пусть, например, имеется уравнение

Определим для него семейство переходных характеристик . Для единичной ступенчатой функции при уравнение (13.14) можно записать в следующем виде:

Приведем его к виду (13.12):

Далее получаем:

На основании формулы (13.13) получаем

При нулевых начальных условиях должно быть Отсюда определяется постоянная интегрирования

Окончательно получаем

Дифференцируя последнее выражение по можно получить функцию веса:

или в ином виде:

Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу Проделав необходимые выкладки, получаем

где

Распространим этот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде

Приведем его к виду (13.12):

Положив получим для функции веса решение в виде

где

Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17):

Обратившись к формуле (13.18), находим

и функцию веса

что совпадает с полученным ранее выражением.

Дифференциальное уравнение второго порядка.

Рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение (13.1) сводится к уравнению второго порядка

При помощи подстановки

это уравнение приводится к виду

Здесь введено обозначение

При действии единичного импульса для уравнения (13.21) получится решение которое связано с весовой функцией исходного уравнения (13.19) на основании формулы (13.20) соотношением

Если же положить то для уравнения (13.21) будет получена весовая функция которая на основании (13.9) связана с решением зависимостью

Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде

В результате из (13.23) и (13.24) получаем

Таким образом, для отыскания функции веса необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает вид

с нулевыми натальными условиями: и при Полученную при решении весовую функцию и необходимо затем подставить в (13.25) и найти

Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи использования функций Бесселя [118]. Для этого функция должна быть аппроксимирована отрезками прямых линий, уравнение которых сводится к виду Однако это решение является сравнительно сложным.

Рис. 13.4.

Ограничимся рассмотрением так называемого аппроксимирующего решения, которое может применяться, если функция мало изменяется относительно своего среднего большого значения (рис. 13.4). Это решение называется аппроксимацией Бриллуина — Вентцеля — Крамера [118].

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение

Предположим теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получено частное решение

где

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение (13.28). Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем

Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество

Решение уравнения (13.31) и отыскание функции является сложной задачей вследствие наличия нелинейностей в (13.31). Однако может быть найдено приближенное решение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенства

Тогда решение (13.21) можно представить в виде

Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда:

Часто можно ограничиться только первым членом ряда (13.22), что будет справедливым, если функция изменяется медленно, оставаясь в среднем большой (рис. 13.4). Тогда

При выполнении условия в качестве второго частного решения можно взять комплексно-сопряженную величину (13.29)

Тогда можно показать, что решение уравнения (13.26) будет

или, после подстановки (13.28) и (13.35),

В нредельном случае постоянства параметров Тогда . В результате из формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звена

Для исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37) получаем искомую функцию веса

Критерием медленности изменения функции и, следовательно, применимости полученного выражения может служить неравенство

которое получается из (13.31) и (13.34).

Метод последовательных приближений.

Рассмотрим уравнение (13.1):

Ограничиваясь случаем квазистационарных систем и полагая, что коэффициенты меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения.

Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммы постоянной и изменяющейся частей:

где переменный коэффициент, зафиксированный для момента приложения входной величины

Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде

где

Поскольку мы предположили, что коэффициенты меняются медленно, то функция мала по сравнению с левой частью (13.41). Эту функцию можно рассматривать как возмущение, и тогда к уравнению (13.41) можна применить метод последовательных приближений.

В уравнении (13.41) можно перейти к изображениям по Лапласу. Тогда получим

Здесь введено обозначение

Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда

Для получения первого приближения зафиксируем переменные коэффициенты . Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения

Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) при

Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение а в левую часть — Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициентами для определения поправки:

Это уравнение также может быть решено с использованием преобразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения

где — изображение при подстановке в формулу

Повторяя этот процесс многократно, можно найти рекуррентное соотношение для определения члена ряда (13.46):

Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты Рассмотренный метод может использоваться как для нахождения

функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии .

Численно-графический метод.

Численно-графический метод Д. А. Башкирова [98] разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами, причем можно вводить любое переменное возмущающее или задающее воздействие и произвольные начальные условия.

Неоднородные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Пусть требуется построить решение уравнения

с начальным условием при Разделив его на приведем уравнение к виду

где

Уравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоянным и равным Т внутри каждого интервала времени но различным для разных интервалов. Формула для решения в этом случае будет

а процесс построения сводится к следующему. Наносим заданные кривые (рис. 13.5). Из точки Е кривой , взятой в середине первого интервала откладываем по горизонтали отрезок величина которого берется равной ординате точки Н заданной кривой т. е. тоже в середине первого интервала Полученная точка М соединяется прямой линией с заданной начальной точкой процесса А.

Рис. 13.5.

В результате получается новая точка В искомой кривой . Затем аналогично берется ордината точки откладывается в виде отрезка и проводится прямая дающая новую точку С решения

Неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Требуется построить решение уравнения

которое можно записать также в виде

где

с натальными условиями при Если в правой части (13.52) имеется операторное выражение, то предварительно производим вычисление правой части и сводим ее к

Если обозначить то уравнение (13.52) разобьется на два;

где

а начальные условия будут

Формулы для решения уравнений (13.53) согласно [64, 78] будут

где

причем во второй из формул (13.55) значения берутся со сдвигом на вправо по сравнению с

Рис. 13.6.

Отсюда вытекает следующее построение. Наносим заданные кривые а также кривую ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показаны на графике (рис. 13.6, а).

На другом графике наносим заданное (рис. 13.6, б). На основании заданных начальных условий (см. выше) наносим на последнем графике точки и в середине первого интервала (как в § 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т. е.

Из точки в середине первого интервала на кривой откладываем вниз отрезок

(вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен). При этом величина х берется как ордината уже имеющейся точки А, величина берется из графика а величина — из заданных начальных

условий. Из полученной точки откладываем горизонтальный отрезок

размер которого берется из графика Точку М соединяем прямой линией с точкой что дает новую точку кривой при

Из точки откладываем вниз отрезок

равный ординате точки А. Из точки проводим горизонтальный отрезок

размер которого берется из графика Точку К соединяем с точкой что дает новую точку В искомой кривой в середине второго интервала

Опишем еще второй шаг интегрирования. Из точки кривой в середине второго интервала откладывается вниз отрезок

где — ордината точки В, полученной выше; — тангенс угла наклона прямой проведенной ранее (он дает требуемое значение х). Откладываем отрезок

И проводим прямую получая при этом новую точку кривой

Из точки откладываем вниз

а затем вправо

после чего проводим прямую Это дает новую точку С искомой кривой Все описанные построения можно заменить числовыми расчетами.