§ 4.2. Временные характеристики

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, Л (2) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается что соответствует при и при Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию выходная величина будет равна

Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена к высоте ступенчатого скачка на его входе, т. е. При этом размерность соответствует размерности передаточной функции звена.

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. п.

Умножение какой-либо функции времени на единичную ступенчатую функцию означает, что функция времени будет существовать только при при она обращается в нуль.

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Это иллюстрируется рис. 4.4.

Функция веса представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 4.5). Единичная импульсная функция, или дельта-функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта-функции заключается в том, что

т. е. она имеет единичную площадь.

Из последнего выражения следует, что размерность единичной дельтафункции равна .

Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выражения, например:

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью прикладываемого при (рис. 4.6). Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями

и прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени е. Тогда выходная величина звена будет равна

Будем теперь увеличивать высоту импульса одновременно уменьшая его ширину но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице, Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на в и перейдя к пределу, получим функцию веса

Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.

Рис. 4.6.

В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная функция на выходе звена получится

Более строго функцию веса можно определить как отношение выходной величины звена к площади поданного на его вход импульса При этом размерность соответствует размерности передаточной функции звена, деленной на время.

Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. . В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.

Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно: передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным преобразованием

В свою очередь переходная функция звена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преобразование

Для входного воздействия произвольного тина, прикладываемого в момент переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля — Карсона

по переходной функции:

или по функции веса:

где — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени

Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.