§ 12.4. Метод стандартных переходных характеристик

Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени откладывается относительное время где — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы.

При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения.

Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции [61].

Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты вещественными, причем они составляют арифметическую прогрессию.

Таблица 12.1. Стандартные передаточные функции разомкнутой системы с астатизмом первого порядка при

В табл. 12.1 приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядков характеристического уравнения получающиеся при атом значения перерегулирования и добротности по скорости

Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на рис. 12.4, а.

Для систем с астатизмом второго порядка корни также приняты вещественными, причем они составляют геометрическую прогрессию.

Таблица 12.2. Стандартные передаточные функции разомкнутой системы с астатизмом второго порядка при

Соответствующие передаточные функции приведены в табл. 12.2, а переходные характеристики — на рис. 12.4, б.

В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения приведены передаточные функции разомкнутой системы, перерегулирование и добротность по ускорению

Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, что для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса. Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня Далее оказываются известными все коэффициенты желаемой передаточной функции системы.

Рис. 12.4.

Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы коэффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к коэффициентам желаемой передаточной функции.

Этот метод может применяться и в том случае, когда важно обеспечить требуемую точность работы системы, которая может быть задана, например, при помощи коэффициентов ошибок. Тогда при заданных значениях коэффициентов ошибок можно определить требуемое значение или , а по ним найти величину Далее расчет ведется так, как описано выше.

Недостатком рассмотренного метода является то, что при построении стандартных переходных процессов приняты вещественные корни. Это во многих случаях не приводит к оптимальному решению. Однако стандартные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней. Предлагается, например, такое решение [61]. Пусть характеристическое уравнение записано в виде

где — среднегеометрический корень.

Если принять все корни равными и вещественными, то это характеристическое уравнение приобретает вид

В этом случае безразмерные коэффициенты Апявляются коэффициентами бинома Ньютона,

Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном имеет вид

и при нечетном

причем безразмерный параметр затухания

В табл. 12.3 для случая приведены значения безразмерных коэффициентов причем для степени характеристического уравнения от 2 до 6.

Таблица 12.3. Коэффициенты характеристического уравнения для кратных корней

На рис. 12.4, в приведены нормированные переходные характеристики, соответствующие характеристическому уравнению (12.45), если в него ввести правую часть в виде

Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение комплексных корней [61]. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью и первым членом также у. Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное отношение которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени. Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого сличая приведены в табл. 12.4, а переходные характеристики изображены на рис. 12.4, г.

Таблица 12.4. Коэффициенты характеристического уравнения (оптимальный случай)

При наличии нулей у передаточной функции принятые в табл. 12.3 и 12.4 распредления корней оказываются неудачными вследствие появления большого перерегулирования. В этом случае оказывается более выгодным использование расположения корней на вещественной оси по арифметической прогрессии (см. табл. 12.1 и 12.2).