§ 18.2. Алгебраические способы определения автоколебаний и устойчивости в нелинейных системах первого класса

Основываясь на вышеизложенной гармонической линеаризации, составим гармонически линеаризованное уравнение всей замкнутой нелинейной автоматической системы в целом (рис. 16.1). Пусть известно дифференциальное уравнение линейной части системы

причем линейная часть может иметь структуру любой сложности (и любой порядок уравнения).

Уравнение нелинейного звена

в колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде

В частности, для нелинейной характеристики без гистеризисной петли будет

Уравнение нелинейного звена (18.32) записано, как видим, без учета высших гармоник, фигурировавших в предыдущем параграфе. Это сделано отнюдь не потому, что они малы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход в общем случае на выходе обязательно появятся высшие гармоники. Однако в замкнутой автоматической системе (рис. 18.4, а) линейная часть имеет обычно амплитудную частотную характеристику одного из двух видов, показанных на рис. 18.4, б. Поэтому высшие гармоники, имеющиеся у переменной гасятся в линейной части и переменная оказывается достаточно близкой к синусоиде: . В таком виде и будем искать приближенное периодическое решение для нелинейной автоматической системы. Свойство линейной части системы, определяющее вид амплитудной частотной характеристики типа изображенной на рис. 18.4, б, именуется свойством фильтра. Аналитическое обоснование сказанного см. в книге [100, § 2.2].

Рис. 18.4.

Как видим, в коэффициенты уравнения (18.32) входят амплитуда а и частота о) искомого колебательного процесса.

На основании уравнений (18.31) и (18.32) можно написать гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде

с теми же особенностями в коэффициентах, что и в уравнении (18.6), описанными в § 18.1.

В том случае, когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды и постоянной частоты (автоколебания), коэффициенты уравнения (18.32), а значит, и коэффициенты характеристического уравнения (18.33), становятся постоянными. Вместе с тем из линейной теории известно, что появление указанных колебаний в системе при постоянных коэффициентах соответствует наличию пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении системы.

Следовательно, можно обнаружить в замкнутой нелинейной системе появление незатухающих собственных колебаний вида подставив в характеристическое уравнение Если эта подстановка соответствует каким-нибудь вещественным

положительным значениям при заданных параметрах системы, то такие колебания возможны. Но подстановка в характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами эквивалентна отысканию границы устойчивости линейной системы. Следовательно, появление незатухающих собственных колебаний в нелинейной системе можно обнаружить применением к характеристическому уравнению (18.33) любого из методов определения границы устойчивости линейной системы, изложенных в главе 6.

Основной способ определения периодических решений. Используем непосредственную подстановку в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение, а именно

при неизвестных постоянных значениях амплитуды а и частоты со, входящих в коэффициенты причем для однозначной нелинейной характеристики будет

Выделим в выражении (18.34) вещественную и мнимую части;

и введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения; Это дает два уравнения:

из которых и определяются неизвестные частота и амплитуда

Если уравнения (18.36) не имеют положительных вещественных решений для то периодические решения вообще (а значит, и автоколебания) в данной нелинейной системе невозможны.

Исследование устойчивости периодического решения дается ниже.

С помощью уравнений (18.36) можно не только определять частоту и амплитуду автоколебаний при заданных параметрах системы, но и построить графики зависимостей от какого-либо параметра системы, например коэффициента усиления к. Для этого нужно считать в уравнениях (18.36) параметр к переменным и записывать эти уравнения в виде

Отсюда можно найти зависимости

и построить их, например, в виде графиков рис. 18.5, а, б. На основании этих графиков можно будет выбирать параметр к так, чтобы амплитуда автоколебаний была достаточно малой, чтобы частота их не была опасной для данной системы или же, наконец, чтобы автоколебаний не было вовсе

Кроме того, с помощью тех же уравнений (18.36) можно строить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний на плоскости двух каких-либо параметров системы, например . Для этого уравнения (18.36) записываются в виде

Зададимся различными числовыми значениями амплитуды и получим для каждого из них по уравнениям (18.38) зависимости

После этого, меняя можно построить по точкам соответствующие кривые в координатах , как показано сплошными линиями на рис. 18.5, в. На этих кривых получаются отметки частот которые также можно соединить (пунктирные кривые).

Рис. 18.5.

График рис. 18.5, в позволяет выбирать значения двух параметров нелинейной системы. Если такие графики построить для различных возможных структурных схем системы, то можно будет выбирать также и наивыгоднейшую структурную схему проектируемой замкнутой автоматической системы с учетом нелинейностей.

Использование графиков коэффициентов гармонической линеаризации.

Во многих задачах коэффициенты и входящие в уравнение (18.34), сложно зависят от амплитуды а, а в ряде случаев и от частоты . В таких случаях удобнее указанное уравнение записывать в виде

не подставляя зависимости q от а и . Тогда вместо уравнений (18.36) получим для определения периодического решения уравнения:

Для общего случая задач, в которых каждый из коэффициентов гармонической линеаризации зависит сложным образом от обеих неизвестных а и , т. е.

можно применить следующий прием решения.

Задаваясь различными значениями , построим по формулам (18.41) две серии кривых: при разных (рис. 18.6). Затем из уравнений (18.40) выразим

и эти две кривые нанесем на тех же графиках.

Теперь остается на этих двух кривых найти такие точки С и Б, в которых кривые пересекают линии с одинаковыми значениями а при одном и том же значении со. Полученные величины а и со будут решением задачи, т. е. амплитудой и частотой искомого периодического решения.

Рис. 18.6.

Во многих встречающихся на практике задачах вместо (18.41) будет

Тогда кривые q на рис. 18.6 для разных амплитуд будут иметь вид горизонтальных прямых линий.

В простейшем случае, когда в системе имеется однозначная нечетно-симметричная нелинейность для которой из уравнений (18.40) можно найти

Тогда, исключив q из уравнений (18.40), найдем частоту как функцию параметров системы. Затем, изобразив график зависимости (рис. 18.7), проведем на нем согласно (18.44) горизонтальные линии для разных постоянных значений т. е. для разных соотношений параметров системы.

Точки пересечения этих прямых с кривой (например, на рис. 18.7 точки определяют в каждом случае амплитуды периодических решений. Если пересечений нет, то и периодических решений в системе не будет,

В простейших случаях уравнение (18.44) решается аналитически.

Графический способ.

Для гармонически линеаризованного характеристического уравнения (18.33) можно написать выражение кривой Михайлова

где знак введен, чтобы отличать текущий параметр , изменяющийся вдоль кривой Михайлова, от частоты , входящей в выражение гармонической линеаризации нелинейности.

Тогда при любых заданных постоянных а и со кривая Михайлова будет иметь такой же вид, как для обыкновенных линейных систем. Искомое периодическое решение , т. е. неизвестные определятся прохождением кривой Михайлова через начало координат (рис. 18.8, а).

Рис. 18.7.

Рис. 18.8.

Поскольку в точке прохождения кривой Михайлова через начало координат текущее значение должно совпадать со значением входящим в коэффициенты гармонической линеаризации, то для удобства решения можно заранее отождествить в выражении (18.45) значения . Тогда искомые частоту и амплитуду автоколебаний можно будет определить путем построения кривых

которые в общем случае не будут совпадать с кривыми Михайлова. При этом надо выбрать такое значение а, при котором кривая пройдет через начало координат.

Если например, для каких-нибудь трех различных значений а кривые проходят указанным на рис. 18.8, б образом, то искомые значения и можно найти путем следующей интерполяции:

Этот способ целесообразен лишь в самых сложных случаях, когда изложенные выше способы не удается применить.

Использование коэффициентных соотношений для определения периодического решения.

Для обнаружения факта наличия пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении (18.33) можно также применить известные алгебраические критерии устойчивости линейных систем. Так, если гармонически линеаризованное уравнение (18.33) нелинейной системы имеет третью степень относительно р, то его можно записать в виде

причем коэффициенты его будут содержать в себе искомые значения частоты и амплитуды автоколебаний.

Условие наличия пары чисто мнимых корней по критерию Гурвица см. § 6.2) будет

оно дает только одно уравнение с двумя неизвестными Чтобы найти второе, представим уравнение (18.47) при наличии мнимых корней в виде

Раскрыв здесь скобки и приравняв коэффициенты этого уравнения соответствующим коэффициентам (18.47), найдем

Из двух уравнений (18.48) и (18.49) определяются неизвестные амплитуда и частота автоколебаний, входящие в состав коэффициентов (18.47). При этом точно так же, как в основном способе, здесь на основании уравнений (18.48) и (18.49) можно строить графики зависимостей от одного параметра системы или на плоскости двух параметров с целью их выбора.

Если гармонически линеаризованное уравнение (18.33) нелинейной системы имеет четвертую степень относительно р:

то условие наличия пары чисто мнимых корней согласно § 6.2 будет

Кроме того, записывая уравнение (18.50) в виде

раскрывая здесь скобки и приравнивая полученные коэффициенты соответствующим коэффициентам (18.50), находим

С помощью двух уравнений (18.51) и (18.52) решаются все вышеуказанные задачи для нелинейной системы четвертого порядка.

Заметим, что для систем с нелинейностью вида без гистерезисной петли частота не входит в коэффициенты характеристического уравнения.

Поэтому из уравнения (18.48) или (18.51) сразу определяется амплитуда а затем из (18.49) или (18.52) — частота Для систем с более сложными нелинейностями получаются два уравнения с двумя неизвестными.

Учет временного запаздывания в нелинейной системе.

В нелинейной системе, как и в линейной, может иметься постоянное по времени запаздывание т.

При этом уравнение линейной части (18.31) получит вид

Выражение (18.34) при этом будет

К уравнению (18.53) можно применить основной способ отыскания периодических решений или другой из изложенных выше.

Устойчивость периодических решений. Выше уже указывалось, что не всякое периодическое решение уравнений собственного движения нелинейной системы будет соответствовать автоколебаниям, а только устойчивое. В конкретных задачах часто из физических соображений бывает сразу видно, возникают автоколебания или нет. Поэтому иногда нет нужды в математическом исследовании устойчивости найденного периодического решения. Однако в ряде случаев все же приходится этот вопрос исследовать.

Задача исследования устойчивости периодического решения сводится, вообще говоря, к анализу линейного уравнения с периодическими переменными коэффициентами. А. М. Ляпуновым [82] разработаны соответствующие методы. Но их использование во многих случаях представляет пока еще большие трудности. Поэтому здесь строгое исследование устойчивости периодических решений излагаться не будет.

Опишем три приближенных способа исследования устойчивости периодического решения: 1) осреднение коэффициентов, 2) использование кривой Михайлова, 3) аналитический критерий.

Осреднение коэффициентов при исследовании устойчивости периодического решения. Запишем дифференциальное уравнение замкнутой системы в малых отклонениях от исследуемого периодического решения: Для линейной части системы на основании уравнения (18.31) получим

Уравнение нелинейного звена, например примет при этом для малых отклонений вид

(аналогично и для других типов нелинейных уравнений), где индекс означает, что в частные производные нужно подставить апсоп Эти частные производные и являются периодическими переменными коэффициентами. В задачах теории регулирования они могут меняться как плавно, так и скачками (см. примеры в § 18.3). Осредним полученные периодические коэффициенты, после чего вместо (18.55) будем иметь линейное уравнение с постоянными коэффициентами

где

Характеристическое уравнение системы, определяющее устойчивость периодического решения, согласно (18.54) и (18.56) будет

Если оно удовлетворяет линейному критерию устойчивости, то исследуемое периодическое решение устойчиво.

В случаях, когда нелинейное звено описывается уравнением вида (с гистерезисной петлей или без нее), осредненное характеристическое уравнение для исследования периодического решения будет

где

Использование кривой Михайлова для исследования устойчивости периодического решения.

Каждому конкретному значению а будет соответствовать определенная кривая Михайлова (18.45). При она пройдет через начало координат (рис. 18.9).

Для исследования устойчивости периодического решения с амплитудой дадим малое приращение амплитуде . Тогда при кривая Михайлова займет либо положение 2, либо положение 2 (рис. 18.9). При этом, как известно из линейной теории (§ 6.3), кривая 2, охватывающая начало координат, соответствует затухающим колебаниям переходного процесса, а кривая 2 — расходящимся колебаниям.

Рис. 18.9.

Поэтому, если при кривая Михайлова займет положение 2, а при — положение 2, то переходный процесс в системе будет таким, что колебания с амплитудой, большей чем затухают, а колебания с амплитудой, меньшей чем расходятся-Следовательно, переходный процесс с обеих сторон сходится к исследуемому периодическому процессу с амплитудой Это означает устойчивость последнего, т. е. в системе имеют место автоколебания. Если же при получится кривая , а при — кривая 2, то переходный процесс в обе стороны расходится, т. е. исследуемое периодическое решение неустойчиво (система устойчива в малом и неустойчива в большом, как на рис. 16.3, б).

Аналитический критерий устойчивости периодического решения.

Развивая предыдущий способ, видим, что нет необходимости строить сами кривые Михайлова. Все исследование можно произвести аналитически. В самом деле, для того чтобы узнать, примет ли кривая Михайлова при положение 2 (рис. 18.9), достаточно определить, куда будет перемещаться с увеличением а та точка кривой Михайлова которая при находится в начале координат. Если она будет перемещаться по направлениям или (рис. 18.10, а), то периодический процесс с амплитудой устойчив, а если по направлениям или — неустойчив.

Это направление перемещения точки из начала координат с увеличением а определяется, очевидно, следующими проекциями на координатные оси X и

где X и Y обозначают вещественную и мнимую части аналитического выражения кривой Михайлова, а индекс означает подстановку Как видно из рис. 18.10, а, для устойчивости исследуемого периодического решения вектор, определяемый проекциями (18.61), должен лежать с определенной стороны от касательной к кривой Михайлова, направление которой в свою очередь определяется проекциями

Из расположения вектора с проекциями (18.61) по отношению к вектору с проекциями (18.62) и видна непосредственно устойчивость или неустойчивость данного периодического решения с амплитудой

На рис. 18.10, б и в показаны те же векторы, что и на рис. 18.10, а, но для других видов кривых Михайлова.

Рис. 18.10.

Видно, что во всех случаях для устойчивости исследуемого периодического решения требуется, чтобы вектор с проекциями (18.61) лежал справа от касательной если смотреть вдоль кривой Михайлова в сторону возрастания , причем направление касательной определяется вектором с проекциями (18.62). Это геометрическое условие устойчивости периодического решения можно записать в следующем аналитическом виде;

или иначе:

Здесь важно, что частные производные берутся не по частоте а по текущему параметру кривой Михайлова со, т. е. имеются в виду выражения X и не в форме (18.35), а как вещественная и мнимая части выражения (18.45) в функции от при (если она входит в коэффициенты, стоящие в квадратных скобках этого выражения).

Выполнение условия (18.63) устойчивости периодического решения во всякой конкретной задаче можно проверить аналитически, без построения кривых. Этого достаточно для систем третьего и четвертого порядков, если все коэффициенты гармонически линеаризованного характеристического уравнения положительны. Для систем же пятого и более высокого порядков требуется дополнительно проверить общий ход кривой Михайлова, чтобы убедиться, что имеет место случай, например, рис. 18.11, а, но не рис. 18.11, 6. Заметим, что вместо построения кривой Михайлова можно и тут воспользоваться аналитическим дополнительным условием, потребовав выполнения

критерия Гурвица для многочлена

где — левая часть гармонически линеаризованного характеристического уравнения (18.33) при и При этом если имеет пятую или шестую степень, достаточно убедиться в положительности коэффициентов .

Устойчивость равновесного состояния системы.

Приведенные в начале данного параграфа гармонически линеаризованные уравнения нелинейной системы годятся только для колебательных процессов, определяемых периодическими решениями, и для колебательных переходных процессов в непосредственной близости от указанных периодических решений. Поэтому, строго говоря, с помощью этих приближенных уравнений можно анализировать только сами периодические решения и их устойчивость или неустойчивость при малых отклонениях от исследуемого колебательного режима, что выше и делалось.

Практически же из анализа полученных приближенных уравнений нелинейной системы часто можно делать значительно более широкие выводы. В частности, можно оценивать устойчивость системы в тех областях ее параметров, в которых периодические решения отсутствуют вовсе.

Пусть, например, определено, что периодическое решение, амплитуда которого показана на рис. 18.5, а, устойчиво (оно соответствует автоколебаниям). Условимся факт устойчивости периодического решения обозначать на графике вертикальными стрелками, сходящимися к данному периодическому решению (рис. 18.12, а).

Рис. 18.11.

Рис. 18.12.

Этим обозначением иллюстрируется то, что переходные процессы с обеих сторон (т. е. с большими, чем и с меньшими, чем начальными амплитудами) сходятся к автоколебательному процессу с амплитудой Пусть в данном случае к обозначает коэффициент усиления регулятора. График рис. 18.12, а показывает, что в системе возникают автоколебания при Естественно сделать отсюда вывод о том, что в области (где нет периодического решения) данная система регулирования будет устойчива, что также обозначено на рис. 18,12, а вертикальной стрелкой.

Аналогичное заключение для области можно сделать и в случае неустойчивого периодического решения на рис. 18.12, б, и в случае наличия двух периодических решений на рис. 18.12, в, одно из которых устойчиво, другое неустойчиво. Если же автоколебания наблюдаются в области как показано на рис. 18.12, г, то естественно предположить, что область будет областью неустойчивости данной нелинейной системы.

Наконец, если периодических решений для исследуемой нелинейной системы не получается вовсе ни при каких значениях ее параметров, то согласно геометрическому способу определения автоколебаний (см. выше) получим, что кривая Михайлова будет либо охватывать начало координат при всяком значении а, либо не охватывать его при всех а. Отсюда можно сделать вывод, что в первом случае данная нелинейная система устойчива, а во втором — неустойчива.

Развитие, а также сравнение данного способа определения устойчивости равновесия нелинейной системы с методом Ляпунова, показывающее эффективность такого способа, см. в книге [100], §§ 2.7-2.9.