§ 8.3. Коэффициенты ошибок

Рассматриваемый метод может применяться как для задающего так и для возмущающего воздействий. Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие.

Если функция времени имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число производных

то ошибку системы можно определить следующим образом. Из формулы (5.20) можно найти изображение ошибки

где — передаточная функция замкнутой системы по ошибке, — изображение задающего воздействия.

Разложим передаточную функцию по ошибке в выражении (8.18) в ряд по возрастающим степеням комплексной величины :

сходящийся при малых значениях , т. е. при достаточно больших значениях времени что соответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданной форме управляющего воздействия.

Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки

Величины называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробнорациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19).

Коэффициент может быть отличным от нуля только в статических системах и то только в тех случаях, когда не принимаются меры по устранению первой составляющей статической ошибки посредством масштабирования или использования неединичных обратных связей (см. § 9.3).

В системах с астатизмом первого порядка а коэффициент связан с добротностью по скорости соотношением

В системах с астатизмом второго порядка

а коэффициент связан с добротностью по ускорению соотношением

При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить все коэффициенты не равными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению.

Если задающее воздействие имеет ограниченное число производных, то ряд (8.20) будет иметь ограниченное число членов. Предположение, что коэффициенты ошибок представляют собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода для сравнительно медленно меняющихся входных воздействий или , когда можно пренебречь влиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движение системы.

Пример. Определим первые три коэффициента ошибки по задающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Передаточная функция по ошибке

Деля числитель на знаменатель, получаем ряд

Сравнение этого ряда с (8.19) дает

Так, например, если задающее воздействие в этой системе меняется по закону

то установившаяся ошибка будет