§ 14.3. Исследование устойчивости и качества регулирования

В § 14.1 были приведены уравнения линейных систем с запаздыванием, которые для разомкнутой цепи имели вид

а для замкнутой системы

где

В § 14.2 при выводе уравнений для одной линейной системы автоматического регулирования с распределенными параметрами было показано, что они сводятся к тому же самому виду во всех тех случаях, когда распределенное звено системы описывается волновым уравнением в частных производных типа (14.31) или (14.29).

Характеристическое уравнение для таких систем с распределенными параметрами и систем с запаздыванием имеет согласно (14.69) трансцендентный вид

где — обыкновенные многочлены, причем степень обычно меньше или в крайнем случае равна степени .

Уравнение (14.70) записывается иногда и в другом виде, например;

или

Могут встретиться уравнения и более сложного вида:

и т. п.

Рассмотрим характеристическое уравнение вида (14.70). Известно, что решение дифференциально-разностных уравнений (14.68) можно записать в виде некоторых рядов и что для затухания этого решения, т. е. для устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни трансцендентного характеристического уравнения (14.70) имели отрицательные вещественные части. Но в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения здесь вследствие наличия множителя уравнение может иметь бесконечное количество корней.

К указанным системам применимы критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найквиста в их прежних формулировках (см. главу 6). Однако здесь вследствие наличия множителя существенно изменяется очертание как кривой Михайлова замкнутой системы

так и амплитудно-фазовой (характеристики разомкнутой цепи, построенной по частотной передаточной функции

причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое дается ниже.

Рис. 14.9.

Из кривой Михайлова не получается таких простых алгебраических выражений, как в § 6.3. Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица.

Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой цели оказывается наиболее простым.

Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости по критерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (14.72). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы.

Для случая, изображенного на рис. 14.9, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет

что совпадает по форме с (14.72).

Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований:

В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи. Тогда передаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72):

Наконец, в случае, изображенном на рис. 14.9, в, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (14.72):

Заметим, что при наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70), передаточная функция разомкнутой системы может быть записана сразу в виде (14.72), без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком виде выражение может быть использовано далее для исследования устойчивости.

Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде

Кроме того,

где — модуль и — фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен . Поэтому, представив выражение (14.72) в виде

получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции

и фазы

Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вносит только дополнительный фазовый сдвиг.

Рис. 14.10.

На рис. 14.10 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая (14.74). Сплошной линией показана исходная характеристика при пунктиром — характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания .

Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига «закручивает» годограф, особенно в высокочастотной части, по часовой стрелке. Это, вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке . Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.

По имеющемуся годографу можно определить критическое значение времени запаздывания при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости.

Для этой цели на годографе отыскивается точка, для которой модуль равен единице (рис. 14.10). Частоту, соответствующую этой точке, обозначим , а фазу — При введении постоянного запаздывания условие совпадения этой точки с точкой запишется следующим образом;

откуда критическое значение запаздывания

Если подобных «опасных» точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты для всех точек и взять наименьшее значение

Заметим, что частота равна частоте среза л. а. х., (см., например, рис. 4.10 или 6.25). Поэтому нахождение удобно делать при наличии построенных л. а. х. и л. ф. х. В этом случае, вообще, расчеты по определению устойчивости могут совмещаться с определением качества системы частотными методами.

Рис. 14.11.

Л. а. х. системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы (без запаздывания). Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л. ф. х. системы с запаздыванием, определяется (14.76).

В некоторых случаях могут использоваться аналитические расчеты. Так, например, рассмотрим статическую систему с одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Приравняем модуль единице:

Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:

Фазовый сдвиг на этой частоте

По формуле (14.77) находим критическое запаздывание;

По этому выражению на рис. 14.11 построена область устойчивости в координатах «общий коэффициент усиления — относительное запаздывание».

Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени, когда частотная передаточная функция разомкнутой

системы имеет вид

Приравняем модуль единице:

Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:

Фазовый сдвиг на этой частоте

Критическое запаздывание на основании формулы (14.77)

Если , то из последней формулы, сделав предельный переход, находим

Пусть . Тогда критическое запаздывание, при котором система теряет устойчивость,

а при

Оценку качества регулирования в системах с запаздыванием удобнее всего производить при помощи частотных критериев качества (§ 8.5 и § 8.9). Запас устойчивости можно определять по величине показателя колебательности, а быстродействие — по полосе пропускания. Как и в случае систем без запаздывания, заданное значение показателя колебательности будет получено, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, построенная по выражению (14.73), не будет заходить в запретную зону, окружающую точку что изображено на рис. 8.27. Для расчета могут применяться логарифмические характеристики (рис. 8.30).

Построение переходных характеристик удобнее всего производить при помощи вещественных частотных характеристик (§ 7.5).

Для построения переходного процесса могут применяться графические и численно-графические методы, а также вычислительные машины.