§ 14.2. Уравнения линейных систем с распределенными параметрами

Системой автоматического регулирования с распределенными параметрами называется такая система, среди уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальных уравнений имеются уравнения в частных производных. Физически это соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновых процессов в длинных электрических линиях при передаче по ним воздействий от одного звена системы автоматического регулирования к другому или же при регулировании процессов в самих трубопроводах или длинных линиях.

Этот вопрос приобретает практическое значение чаще всего в некоторых системах регулирования, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы (либо в объекте, либо в регуляторе), реже — в некоторых системах телерегулирования (телеуправления) и т. п.

Известно, например, что водяной трубопровод гидротурбины описывается без учета потерь уравнениями

где — скорость движения воды, h — напор в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль трубопровода, а скорость звука в воде.

Уравнения длинной электрической линии без потерь имеют вид

где — напряжение, — ток в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль линии, — индуктивность и емкость единицы длины линии.

После решения указанных уравнений в частных производных с учетом траничных условий, определяемых смежными звеньями данной системы автоматического регулирования, для системы в целом получаются дифференциально-разностные уравнения того же типа, как и для систем с запаздыванием (§ 14.1).

Рассмотрим вывод уравнений системы автоматического регулирования давления газа в трубопроводе, схема которой изображена на рис. 14.7. В данном случае сам регулируемый объект (трубопровод) является звеном с распределенными параметрами.

Рис. 14.7.

Для простоты будем считать его прямолинейным, а всех потребителей — сосредоточенными на конце трубопровода.

Регулятор состоит из чувствительного элемента 2 (мембранный измеритель давления), усилителей 3 и 4 (струйная трубка и пневматический двигатель) с жесткой обратной связью 5 и из регулирующего органа 6 (клапан). Возмущающее воздействие на объект выражается в изменении по произволу потребителей некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода.

Уравнение регулируемого объекта.

Движение газа в трубопроводе подчиняется уравнению

Учтем также условие постоянства массы

и адиабатическое уравнение состояния газа

В этих уравнениях — соответственно скорость, давление и плотность газа в текущем сечении трубопровода с координатой I в момент времени (вся длина трубопровода обозначается через — показатель степени в уравнении адиабатического состояния газа; индексы 0 вверху означают, что данные величины относятся к установившемуся состоянию системы. Продифференцировав (14.23), получаем

откуда

где а — скорость звука в газе, определяемая формулой

Обычно не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, пренебрегая сравнительно малыми членами Кроме того, ввиду малости величины отклонения давления в процессе регулирования от его установившегося значения можно считать, что 1, а следовательно, согласно (14.23) . В результате из уравнений (14.21), (14.22) и (14.24)

получаем

Введем обозначения для относительного отклонения регулируемой величины от ее установившегося значения и для относительной координаты X вдоль трубопровода:

а также для относительного отклонения скорости движения газа в трубопроводе:

где — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе, — показатель степени в адиабатическом уравнении состояния газа (14.23).

Переходя в уравнениях (14.26) к этим относительным безразмерным переменным и бесконечно малым приращениям, получаем искомые уравнения регулируемого объекта (трубопровода) в виде

где введены два постоянных параметра регулируемого объекта:

Первый из них представляет собой, очевидно, время прохождения газа по данному трубопроводу в установившемся процессе, а второй (7) — отношение установившейся скорости газа к скорости звука в нем.

Рис. 14.8.

Заметим, что уравнения (14.29) эквивалентны так называемому волновому уравнению

которое легко получается, если первое из уравнений (14.29) продифференцировать по Я, а второе — по и сравнить результаты дифференцирования.

Для системы уравнений в частных производных (14.29) надо написать граничные условия. Для этого запишем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода и уравнение потребления газа в конце его.

Используем выражение для скорости газа через его расход, а именно;

где — расход газа по весу в секунду, — площадь сечения трубопровода, — ускорение силы тяжести.

Условимся значения всех переменных, относящихся к началу и к концу трубопровода, обозначать индексами 1 и 2 соответственно. Расход газа в начале трубопровода будем считать функцией координаты перемещения регулирующего клапана х, т. е.

Эта функция (рис. 14.8) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытных данных.

На основании уравнений (14.32), (14.33), а также формул главы 3 малое отклонение величины скорости в начале трубопровода от ее установившегося значения будет

(установившиеся значения пишутся без индекса 1, так как они одинаковы вдоль всего трубопровода). Величина есть тангенс угла наклона касательной в точке С (рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании (14.23) и (14.25)

Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана:

где — условное номинальное значение, равное

Кроме того, заметим, что согласно (14.32)

Подставляя все это в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода:

которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29).

Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно записать согласно (14.32) в виде

С другой стороны, известно, что при выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет

где — площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода у потребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволу потребителя; она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие на данную систему регулирования), — давление в конце трубопровода перед выходом к потребителям, — удельный объем газа там же.

Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от его установившегося значения в линеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и (14.27) будет

Выразим также из (14.40), т. е. через изменение выходного сечения у потребителей, считая для простоты

Учитывая, что из (14.40)

и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е. внешнего возмущающего воздействия

получим

Сравнение выражений (14.41) и (14.44) дает искомое уравнение потребления газа в конце трубопровода:

которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29). Уравнение потребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменным внешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения потребителей. При исследовании же переходного процесса в системе, когда после некоторого возмущения потребление установилось уравнение (14.45) будет иметь вид

Уравнения регулятора.

Уравнение чувствительного элемента

здесь — постоянные времени и коэффициент передачи, а

где - некоторое номинальное перемещение.

Индекс 1 при переменной в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элемент измеряет давление газа в начале трубопровода.

Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой

Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет

где — время двигателя.

Уравнение жесткой обратной связи согласно рис. 14.7 будет

Уравнение всей системы регулирования.

Итак, для данной системы автоматического регулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными

условиями (14.38) и (14.45) или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51).

Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно записать в виде следующей суммы некоторых двух функций от аргументов

(легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29) удовлетворяются тождественно).

Для определения функций используются граничные условия. При исследовании переходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (т. е. второе граничное условие) возьмем в виде (14.46). Эта соответствует значению . Поэтому из условия (14.46) с подстановкой (14.52) получаем

откуда

где обозначено

Для начала трубопровода, где из (14.52) с учетом (14.53) получаем:

К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) и уравнения регулятора.

Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторной форме, заметив предварительно, что согласно § 14.1 равенство (14.53) в операторной форме имеет вид

В результате все указанные уравнения системы регулирования будут:

или, после объединения некоторых уравнений,

Исключив отсюда переменные и ?], приходим к одному дифференциальному уравнению данной системы автоматического регулирования:

которое преобразуется к виду

Это уравнение имеет в основном тот же вид, что и уравнение системы с запаздыванием (например, (14.19) и (14.20)). Здесь оно определяет величину Ф, через которую затем находятся из вышенаписанных соотношений регулируемая величина и другие. Параметр в этом уравнении согласно (14.54) и (14.30) вычисляется по формуле

т. е. есть удвоенное время прохождения звука в газе по данному трубопроводу.

Уравнение системы регулирования без учета волновых процессов.

Интересно сравнить полученное дифференциально-разностное уравнение (14.59) с тем, которое получилось бы, если не учитывать волновых явлений в трубопроводе. Будем считать, что весь газ в трубопроводе движется, как единая масса с единой скоростью и давлением, при этом учтем, конечно, сжимаемость газа.

Будем считать, что приток и потребление газа в единицу времени в этом случае будут . Изменение количества газа, находящегося в трубопроводе, в единицу времени будет но используя (14.35), (14.36) и (14.27), получим

С другой стороны, количество газа (по весу) равно так как есть объем трубопровода. Поэтому изменение количества газа в единицу времени,

используя (14.24) и соотношение -1, запишем в виде

или, с учетом (14.25), (14.27) и (14.37),

Сравнивая (14.61) и (14.62), получаем искомое уравнение регулируемого объекта (трубопровода без учета волновых процессов:

где

Здесь прежняя постоянная объекта новый постоянный параметр объекта, в выражении которого значение частной производной определяется для заданного объекта графически, аналогично рис. 14.8, или же расчетным путем.

К этому же уравнению объекта присоединяются прежние уравнения регулятора (14.47) - (14.51), где заменяется на . Следовательно, в символической операторной форме уравнения данной системы регулирования давления без учета волновых явлений будут:

или

Следовательно, в этом случае вместо дифференциального уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом (14.59) получается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка.