§ 19.3. Гармоническая линеаризация нелинейностей при несимметричных колебаниях

В главе 18 гармоническая линеаризация нелинейностей выполнялась для случая симметричных колебаний в системе. Для гармонической линеаризации нелинейной функции при несимметричных колебаниях будем полагать, что входная величина х нелинейного звена ищется в виде

Нелинейная функция будет в этом случае периодической функцией аргумента с постоянной составляющей

Релейная характеристика общего вида. Релейная характеристика общего вида при несимметричных колебаниях входной величины х представлена на рис. 19.10, а. Здесь — любое число в интервале

Определим постоянную составляющую и коэффициенты гармонической линеаризации при условии . В соответствии с видом функции представленной на рис. 19.10, б, получим

С учетом значений соответствующих углов

Далее для получаем

Рис. 19.10.

Учитывая значение углов находим

Наконец, для будем иметь

С учетом значений соответствующих синусов получим

Релейная характеристика с гистерезисной петлей.

Считая, что релейная характеристика с гистерезисной петлей (рис. 19.10, е) есть частный

случай релейной характеристики общего вида при получим

при

Релейная характеристика с зоной нечувствительности.

Релейную характеристику с зоной нечувствительности (рис. 19.10, г) следует рассматривать как частный случай релейной характеристики общего вида при Тогда получим значения постоянной составляющей и коэффициентов гармонической линеаризации:

при

Идеальная релейная характеристика.

Для идеальной релейной характеристики (рис. 19.6, б), полагая в последних формулах получим

при

Релейная несимметричная характеристика.

Релейная несимметричная характеристика при гармоническом изменении входной величины х со смещенным центром колебаний представлена на рис. 19.11, а.

Рис. 19.11.

Так будет изменяться напряжение на потребителе, управляемом поляризованным реле, если реле при срабатывании включает потребитель на полное напряжение, а при отпускании выключает.

Вычисляя постоянную составляющую по формуле (19.6), получим

После подстановки значений соответствующих углов имеем

при

Далее,

или, с учетом значений углов и

при

Наконец,

или, с учетом соответствующих синусов,

при тех же ограничениях.

Нелинейная характеристика с зоной нечувствительности. Нелинейная характеристика с зоной нечувствительности изображена на рис. 19.12, а.

Рис. 19.12.

Коэффициент q в этом случае равен нулю, так как характеристика однозначная.

Определим значения постоянной составляющей и коэффициента гармонической линеаризации в соответствии с видом функции показанной на рис. 19.12, б.

Для постоянной составляющей имеем

что после подстановки соответствующих углов дает

при

Вычисляя коэффициент получаем

что с учетом значений углов дает

при

Нелинейная характеристика с насыщением.

Для нелинейной характеристики с насыщением (рис. 19.8) при несимметричных колебаниях аналогичным путем получаем следующие значения постоянной составляющей и коэффициента гармонической линеаризации

при

Проиллюстрируем на примере данной нелинейной характеристики графики при разных при разных вычисленные по формулам (19.85) и представленные на рис. 19.13.

Из графиков для (рис. 19.13, а) видно, что при наличии колебаний входной величины нелинейного звена его статическая характеристика для медленно меняющегося воздействия (функция смещения) сглаживается, причем увеличение амплитуды колебаний входной величины приводит к уменьшению коэффициента усиления нелинейного звена по постоянному или медленно меняющемуся входному воздействию.

Рис. 19.13.

Графики для q (рис. 19.13, б) характеризуют прохождение через нелинейное звено колебательной составляющей в зависимости от амплитуды на входе и смещения центра колебаний. Как видно, увеличение смещения приводит к уменьшению коэффициента усиления для колебательной составляющей.

Нелинейная характеристика типа люфта или зазора.

В случае несимметричных колебаний нелинейная характеристика типа люфта или зазора

(рис. 19.14) смещается вдоль средней линии, так что ее прежний центр О переходит в положение Постоянная составляющая в этом случае определяется простой формулой

Колебательная составляющая функции относительно нового центра колебаний не зависит от величины смещения

Рис. 19.4.

Так, например, шестереночная пара, имеющая люфт, передает движение с тем же передаточным числом для любых углов поворота ведущей шестерни. В случае колебаний в кинематической передаче, включающей данную шестереночную пару, люфт будет проявлять себя одинаково для любых углов поворота.

Поэтому для коэффициентов гармонической линеаризации характеристики типа люфта или зазора в случае смещенного центра колебаний относительно начала отсчета будем иметь те же формулы (18.27), что и для случая симметричных колебаний.