§ 20.2. Примеры исследования колебательных переходных процессов

Рассмотрим сначала построение диаграммы качества и кривой переходного процесса на примере нелинейной следящей системы, а затем исследуем переходный процесс в нелинейной системе с логическим устройством.

Пример 1. Структурная схема следящей системы изображена на рис. 20.5, где 1 — датчик рассогласования, 2 — усилитель, 3 — реле, 4 — исполнительный двигатель, 5 — редуктор, 6 — управляемый объект, 7 — дополнительная обратная связь.

Рис. 20.4.

Рис. 20.5.

Системы с такой структурной схемой находят применение в тех случаях, когда для управления двигателем нужна значительная мощность, а увеличение габаритов и веса усилителя нежелательно.

Для датчика рассогласования системы имеем уравнения

где — соответственно входная и выходная величины системы, передаточное число датчика рассогласования, — рассогласование.

Статическая характеристика нелинейного звена — реле — изображена на рис. 20.6. Выполняя гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики реле, получим уравнение

где в соответствии с (18.16) для однозначной релейной характеристики с зоной нечувствительности коэффициент гармонической линеаризации определяется формулой

Учитывая уравнение датчика рассогласования (20.40), гармонически линеаризованное уравнение реле (20.41) и передаточные функции других линейных звеньев, приведенные на рис. 20.5, запишем уравнение для собственного движения следящей системы в виде

Рис. 20.6.

Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, будет

Произведем вначале построение диаграммы качества по первому способу, указанному в § 20.1. Для этого в уравнении (20.44) необходимо произвести подстановку с использованием формулы (20.19).

Вычисляя соответствующие производные характеристического полинома (20.44) пори подставляя в полученные выражения производных, найдем коэффициенты разложения в ряд уравнения (20.44) при которое в результате распадается на следующие два уравнения:

Из последнего уравнения определяем квадрат частоты:

Подставляя значение в уравнение (20.45), получим

Построим диаграмму качества для следящей системы по параметру т. е. по передаточному числу (крутизне характеристики) датчика рассогласования. Так как затухание в (20.48) входит нелинейно, то удобно данное уравнение разрешить относительно параметра . В результате получим

Для построения диаграммы зададимся следующими значениями других параметров:

Подставляя приведенные значения параметров в (20.49) и задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания строим кривые На основании формулы (20.47) при постоянных значениях частоты строим также пунктирные кривые а Эти кривые представляют собой диаграмму качества для рассматриваемой следящей системы. Кривая при соответствует автоколебаниям.

Рис. 20.7.

Выполним теперь построение диаграммы качества по второму способу, указанному в § 20.1.

Уравнение (20.44) запишем в виде

где

Формулы (20.32) и (20.33) с этими значениями позволяют построить диаграмму затухания нелинейных процессов по любому из параметров системы. Для параметра при выбранных значениях других параметров следящей системы это дает тот же результат, что и в предыдущем случае.

Аналогичное построение диаграммы качества переходного процесса для той же системы при отключении дополнительной обратной связи дает результат, представленный на рис. 20.8. В данном частном случае линии и накладываются друг на друга.

Сравнивая полученные диаграммы для случаев наличия дополнительной обратной связи и отсутствия обратной связи, убеждаемся, что за счет обратной связи расширяется область затухающих колебательных процессов (область левее и выше линии соответствующей автоколебаниям). Кроме того, при тех же самых значениях параметра в случае наличия обратной связи в области затухающих процессов получается большее по абсолютной величине затухание, чем без обратной связи. Например, при при наличии обратной связи затухание тогда как в случае отключенной обратной связи Это говорит о том, что обратная связь приводит к увеличению быстроты затухания переходного процесса.

Полученные диаграммы качества позволяют оценить переходный процесс в нелинейной системе, если заданы параметры последней, а также дают возможность решить и обратную задачу, т. е. выбрать значения параметров из условия заданного качества переходного процесса.

Рис. 20.8.

Кроме того, по диаграммам качества легко построить огибающую амплитуд переходного процесса и найти изменение частоты процесса от периода к периоду, т. е. в конечном счете выполнить приближенное построение переходного процесса.

Для определения погрешности метода на рис. 20.9 построен переходный процесс в рассматриваемой системе численно-графическим методом Башкирова [98] при значении параметра в/град и при начальном значении амплитуды колебаний .

Рис. 20.9.

На том же рис. 20.9 изображена пунктиром огибающая переходного процесса, построенная приближенно на основании

диаграммы качества (рис. 20.7). Из выполненного построения видно, что приближенный расчет по методу гармонической линеаризации дает небольшую погрешность при определении огибающей. На рис. 20.10 показан характер переходных процессов в той же системе при повышенной крутизне датчика рассогласования . В данном случае в установившемся режиме имеют место автоколебания с амплитудой .

На рис. 20.11 построен переходный процесс в той же системе при для случая, когда система приходит к указанному режиму автоколебаний от малых начальных отклонений («снизу»). Там же показана огибающая а найденная по методу гармонической линеаризации на основании диаграммы качества.

Приближенный метод дает достаточно хорошие результаты и в том случае, когда колебания затухают практически за один период (рис. 20.12).

Рис. 20.10.

Рис. 20.11.

Пример 2. В главе 17 было рассмотрено точное исследование переходного процесса в идеальной системе с логическим устройством. Исследуем теперь приближенным методом переходный процесс в реальной системе с учетом нескольких постоянных времени, имея в виду, что он сходится к автоколебаниям с некоторой амплитудой которые изучались в § 18.4.

Найдем зависимости показателя затухания и частоты со от меняющейся в переходном процессе амплитуды а, т. е. зависимости . Тогда, зная начальную амплитуду и конечную можно судить о качестве переходного процесса по соответствующим значениям показателя затухания и частоты .

Формула для гармонической линеаризации нелинейности вместо (18.153) принимает вид

где q и q определяются прежними формулами (18.154), так как последовательность переключений, согласно рис. 20.13, остается прежней.

Рис. 20.12.

Но значения входящих в q и тригонометрических функций (18.151) и (18.152) изменятся следующим образом. При определении через а нужно в соответствующие передаточные функции подставить что дает

(аналогичные выражения получаются для Сравнивая их с (18.149), приходим к выводу, что в формулах (18.151) и (18.152) вместо должны быть поставлены соответственно выражения;

Рис. 20.13.

В результате будут функциями всех трех величин; Характеристическое уравнение вместо (18.155) примет вид

где

После подстановки по формуле (20.19) получаем вещественную и мнимую части:

Отсюда находим:

Будем задаваться разными значениями и строить на основании уравнений (20.51) линии равных значений на плоскости координат (рис. 20.14). Для этого для заданных сначала строится кривая отношения (рис. 20.15). Согласно (20.51) это отношение должно быть равно определенному числу: чем определится значение а (рис. 20.15) для данных

Рис. 20.14.

Рис. 20.15.

После этого для них вычисляется значение Таким путем по точкам строится вся диаграмма качества нелинейного переходного процесса (рис. 20.14). Линия соответствует зависимости амплитуды установившихся автоколебаний от коэффициента усиления k.

При любом заданном к изменение показателя затухания и изменение частоты во время переходного процесса определится прямой (рис. 20.14, пунктир). Результат показан на рис. 20.16. Это позволяет судить о быстроте затухания и о количестве колебаний за время переходного процесса.

Рис. 2.16.

Заметим, что решение задачи несколько упростится при малом . В этом случае, считая постоянные времени измерителей достаточно малыми, можем пренебречь произведениями и в выражениях (20.50) и пользоваться прежними выражениями q и с подстановками (18.151) и (18.152). Кроме того, в написанных выше выражениях для нужно сохранить только первую степень :

В принципе решение не меняется. Изложенный метод решения задачи отличается тем, что он одинаково пригоден к различным системам, описываемым уравнениями любого порядка, и не связан с построением годографов на комплексной плоскости.