§ 5.4. Использование структурных схем и графов

Составление основных уравнений системы автоматического регулирования (5.15) и (5.16) во многих случаях может быть значительно облегчено использованием понятия динамических звеньев. Динамические звенья были подробно рассмотрены в главе 4.

Часто систему автоматического регулирования можно рассматривать как комбинацию динамических звеньев с определенными типовыми или не типовыми передаточными функциями. Изображение системы регулирования в виде совокупности динамических звеньев с указанием связей между ними носит название структурной схемы. Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы, и, наоборот, уравнения системы могут быть получены из структурной схемы. Однако первая задача может иметь различные варианты решения (различные структурные схемы), тогда как вторая задача имеет всегда единственное решение.

Элементы структурных схем приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Рассмотрим вначале простейшие сочетания звеньев.

Последовательное соединение звеньев.

Такое соединение показано на рис. 5.3.

Нетрудно показать, что результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев;

или

Следует подчеркнуть, что это справедливо только в том случае, если соединение выхода предыдущего звена со входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции. В подобной последовательной цепи звеньев сигнал проходит только в одном направлении, и она называется детектирующей цепью.

Если при соединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена на другое, в результате которого меняются исходные уравнения какого-либо звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться как новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией.

Параллельное соединение звеньев.

Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.4.

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Рис. 5.5

Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций:

Здесь остаются справедливыми замечания, сделанные выше относительно взаимного влияния звеньев.

Обратные связи.

Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.5. Обратная связь может быть положительной, если сигнал снимаемый с выхода второго звена, суммируется с сигналом на входе, и отрицательной, если вычитается.

Для определения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие очевидные соотношения:

где знак плюс относится к положительной, а знак минус — к отрицательной обратной связи. Решая эти уравнения совместно относительно можно найти результирующую передаточную функцию;

или

Здесь знак минус относится к положительной, а знак плюс — к отрицательной обратной связи.

Обратные связи будут рассмотрены подробно в главе, посвященной методам улучшения динамических свойств системы автоматического регулирования.

При использовании динамических звеньев обычно наиболее просто находится передаточная функция разомкнутой системы (рис. 5.1). Затем

по формулам, приведенным в § 5.2, легко находятся все уравнения системы автоматического регулирования.

При анализе системы автоматического регулирования необходимо составить ее так называемую структурную схему, представляющую собой совокупность динамических звеньев со связями между звеньями. Такая структурная схема часто является весьма простой и ее составление не представляет особого труда. Однако в некоторых случаях составление структурной схемы сопряжено с большими трудностями и может быть сделано только на основании детального анализа исходных дифференциальных уравнений системы регулирования. В этом случае структурная схема не облегчает нахождения основных уравнений системы; однако и в этом случае она остается весьма ценной, так как на ней в наглядной форме представлены все узлы исследуемой системы и все существующие между ними связи.

Рис. 5.6.

Рис. 5.7.

Это может оказаться полезным во всех дальнейших исследованиях.

На рис. 5.6 в качестве примера приведена структурная схема разомкнутой системы регулирования в том случае, когда цепь регулирования представляет собой простую цепь последовательно включенных звеньев. В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

Здесь представляют собой заданные передаточные функции объекта регулирования и отдельных звеньев, входящих в систему регулирования.

Нетрудно видеть, что для нахождения передаточной функции разомкнутой системы можно разомкнуть систему не обязательно так, как это показано на рис. 5.6, а в произвольном месте.

На рис. 5.7 изображен более сложный пример системы автоматического регулирования. Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае

И в этом случае для нахождения передаточной функции разомкнутой системы можно разомкнуть систему в другом месте, например в точках с или

Для рассмотренных на рис. 5.6 и 5.7 систем, зная передаточную функцию разомкнутой системы , легко найти по формулам (5.15) и (5.16) дифференциальные уравнения для регулируемой величины и ошибки, записанные в символической форме:

где — задающее воздействие.

На рис. 5.8 изображена структурная схема системы стабилизации. В этом случае задающее воздействие представляет собой настройку регулятора.

Определив передаточную функцию разомкнутой системы

можно по формулам (5.15) и (5.16) получить символические записи дифференциальных уравнений для регулируемой величины:

и ошибки:

где — возмущение, действующее на объект, — передаточная функция регулируемого объекта по возмущению.

В тех случаях, когда структурная схема оказывается сложной и содержит много различных перекрестных связей, можно попытаться ее упростить и свести к простейшему виду, например к изображенной на рис. 5.6. Преобразование структурных схем линейных систем делается на основе некоторых правил, которые даны в табл. 5.2.

Рис. 5.8.

Рис. 5.9.

На рис. 5.9 изображены этапы упрощения сложной структурной схемы на основе приведенных выше правил. При упрощении введены дополнительные

(см. скан)

передаточные функции, определяемые выражениями

Полученная в результате преобразования схема (рис. 5.9, в) уже относится к простейшим.

Использование графов.

Подобно структурным схемам графы прохождения сигналов используются для наглядного изображения математических зависимостей в системах регулирования. Графом (рис. 5.10, б) называется множество вершин и ребер. Каждому ребру соответствуют две вершины — начало и конец ребра. Вершине и ребру могут быть сопоставлены или некоторые величины, или операторы, например передаточные функции.

Основные свойства графов прохождения сигналов следующие.

1. Каждая вершина, отмеченная на графе кружком или точкой, соответствует некоторой переменной (координате) рассматриваемой системы.

Рис. 5.10.

Рис. 5.11.

2. Каждое ребро графа, изображаемое в виде линии со стрелкой, указывающей направление прохождения сигнала, имеет вершину - начало (входную величину) и вершину - конец (выходную величину). Если из вершины выходит несколько ребер, то все они имеют одинаковую входную величину.

3. Выходная величина ребра получается как результат преобразования, осуществляемого соответствующим ребру оператором, входной величины ребра.

4. Если к одной вершине подходит несколько ребер, то величина, соответствующая этой вершине, получается алгебраическим суммированием выходных величин этих ребер.

Между структурной схемой и графом прохождения сигналов имеется прямое соответствие: прямоугольник структурной схемы соответствует ребру, а линия передачи сигнала — вершине графа.

На рис. 5.10 для сравнения изображены одновременно структурная схема (а) и граф прохождения сигналов (б) одной и той же системы.

Правила преобразования графов подобны правилам преобразования структурных схем линейных систем. Эти правила изображены на рис. 5.11 в виде исходных (первый столбец) и эквивалентных (второй столбец) схем.

В дальнейшем изложении будут использоваться более удобные структурные схемы.