§ 4.9. Звенья с модулированным сигналом

До сих пор рассматривались звенья, в которых сигнал был смодулированным. В автоматических системах часто используются звенья (чувствительные элементы, усилители, серводвигатели и т. п.), у которых сигнал представляет собой переменное напряжение (или ток) некоторой частоты называемой несущей. В этом случае закон изменения сигнала во времени характеризуется изменением амплитуды или действующего значения этого напряжения, т. е. огибающей.

Рис. 4.27.

На рис. 4.27 для иллюстрации приведены формы немодулированного и модулированного сигналов. Изменению знака сигнала соответствует изменение фазы несущей частоты на 180°.

При расчете автоматических систем с модулированным сигналом могут возникать две задачи:

1) нахождение такого звена, которое по своему воздействию на огибающую модулированного сигнала было бы эквивалентным какому-либо обычному звену, используемому з системах с смодулированным сигналом, например апериодическому первого порядка, дифференцирующему, интегрирующему и т. п.;

2) определение воздействия звена с заданной передаточной функцией на огибающую модулированного сигнала, т. е. нахождение передаточной функции по огибающей.

Рассмотрим первую задачу. Ниже без строгих доказательств показывается путь, позволяющий сформулировать требования к частотной передаточной функции звена, чтобы его воздействие на огибающую сигнала было определенным и заранее заданным.

Для уяснения этого пути обратимся к какому-либо простейшему звену с немодулированным сигналом, например к апериодическому звену первого порядка. Для определенности в качестве такого звена возьмем RC-цепь (рис. 4.13, д). Передаточная функция этого звена

где

Представим себе, что динамические свойства рассматриваемого звена изучаются при помощи экспериментального снятия его амплитудной частотной характеристики. Для этой цели на вход RC-цепи нужно подавать напряжение от источника с переменной частотой, например от звукового генератора, и измерять отношение амплитуд выходного и входного напряжений. Характеристика снимается только для положительных частот, а затем дополняется симметричной ветвью в области отрицательных частот (рис. 4.28).

По отношению к амплитудной частотной характеристике можно применить следующий формальный прием. Входное напряжение при снятии частотной характеристики представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой и амплитудой :

Рис. 4.28.

Используя понятие отрицательной частоты, можно представить эту функцию в виде алгебраической суммы сигнала положительной частоты и сигнала отрицательной частоты:

Эти сигналы называются боковыми частотами. Название произошло по следующей причине. Если на вход звена поступает постоянный по величине сигнал, то его можно представить как сигнал нулевой частоты. В этом случае коэффициент передачи звена равен ординате пересечения амплитудной характеристикой оси ординат. В рассматриваемой -цепи этот коэффициент равен единице, т. е.

Если теперь на вход звена подать сигнал, представляющий собой гармоническую функцию, то реакцию звена на такой сигнал можно получить, рассматривая реакцию звена на две частоты, расположенные симметрично относительно исходной нулевой частоты. Эти две частоты и являются боковыми по отношению к исходной частоте.

При наличии амплитудной частотной характеристики (рис. 4.28) постоянная времени звена может быть определена по эффекту подавления боковых частот по сравнению с исходной нулевой частотой. Из выражения для амплитудной частотной характеристики апериодического звена первого порядка (см. табл. 4.3) в общем случае, когда к Ф 1,

следует, что на нулевой частоте коэффициент передачи звена по амплитуде равен , а при этот коэффициент равен

На основании этого соотношения по амплитудной характеристике можно легко найти постоянную времени. Для этой цели на высоте проводится горизонтальная линия до пересечения с амплитудной характеристикой.

Абсциссы точек пересечения будут равны в области положительных частот в области отрицательных частот.

Расстояние между точками пересечения часто называют полосой пропускания звена (4.25):

Постоянная времени может быть вычислена по полосе пропусканияз

Обратимся теперь к звену с модулированным сигналом. Предположим, что динамические свойства некоторого звена изучаются при помощи частотных характеристик (рис. 4.29). Постоянному сигналу на входе такого звена соответствует напряжение

где несущая угловая частота.

Допустим теперь, что сигнал (огибающая) изменяется по гармоническому закону с угловой частотой

Рис. 4.29.

Это значит, что по гармоническому закону должна изменяться амплитуда в выражении (4.68), и модулированный сигнал может быть представлен в виде

где — гармонический закон изменения огибающей (сигнала).

Это выражение может быть преобразовано к виду

Таким образом, модулированный сигнал (4.69) может быть заменен двумя гармоническими сигналами с частотами, равными сумме и разности несущей частоты и частоты огибающей: Эти гармонические сигналы являются боковыми частотами.

Выясним теперь, какой должна быть амплитудная частотная характеристика звена, чтобы по отношению к модулированному сигналу звено представляло собой, например, апериодическое звено первого порядка. Очевидно, что характеристика должна быть такой же самой, как характеристика апериодического звена с смодулированным сигналом, но она должна быть симметричной относительно несущей частоты (рис. 4.29). Тогда

боковые частоты будут подавляться рассматриваемым звеном так же, как они подавляются звеном с смодулированным сигналом (рис. 4.28).

Постоянную времени звена с модулированным сигналом, если оно представляет собой для огибающей апериодическое звено первого порядка, можно определить по той частоте огибающей, при которой боковые частоты подавляются в раз.

Для этого, аналогично предыдущему, на амплитудной частотной характеристике звена (рис. 4.29) должно быть сделано следующее построение. Необходимо определить коэффициент передачи звена к на несущей частоте, что соответствует постоянному входному сигналу (4.68) или частоте огибающей Затем на высоте проводится горизонтальная прямая до пересечения с частотной характеристикой и определяется полоса пропускания . Постоянная времени определяется на основании (4.67) и равна

Рассмотренная выше методика позволяет сформулировать правило, устанавливающее требования к амплитудной частотной характеристике звена с модулированным сигналом для того, чтобы его воздействие на огибающую было таким же, каким является воздействие обычного звена заданного типа на немодулированный сигнал. Это правило сводится к следующему. Амплитудная частотная характеристика звена с модулированным сигналом должна быть такой же, как амплитудная частотная характеристика звена с смодулированным сигналом, но эта характеристика должна быть симметричной не относительно оси ординат, а относительно несущей частоты. Звено с смодулированным сигналом может рассматриваться при этом как частный случай звена с модулированным сигналом при несущей частоте

Для того чтобы избежать ошибок в связи с наличием неминимальнофазовых звеньев, сформулированное выше правило для амплитудных характеристик должно быть дополнено аналогичным правилом для фазовых частотных характеристик. Если известно, что все рассматриваемые звенья относятся к категории минимально-фазовых звеньев, то привлечение фазовых характеристик не является необходимым и можно ограничиться использованием только амплитудных характеристик.

Таким образом, в общем случае, если обозначить эквивалентную частотную передаточную функцию по огибающей , то для частотной передаточной функции звена с модулированным сигналом должно выполняться условие

Так, например, если необходимо, чтобы по своему действию на огибающую модулированного сигнала звено соответствовало апериодическому звену первого порядка с эквивалентной частотной передаточной функцией

то оно должно иметь частотную передаточную функцию

Приблизительно такую передаточную функцию имеют, в частности, резонансные усилители, настроенные на несущую частоту причем постоянная времени Т определяется полосой пропускания усилителя в соответствии с (4.67).

Проиллюстрируем применение изложенного правила на другом примере. Возьмем рассмотренную ранее дифференцирующую RC-цепь (рис. 4.24, а). Эта цепь годится для дифференцирования немодулированного сигнала. Если

на ее вход подать модулированный сигнал, то дифференцирования не получится. Действительно, рассмотрим входной сигнал где представляет собой закон изменения амплитуды во времени, т. е. огибающую или сам передаваемый сигнал. Продифференцируем это выражение, считая для простоты, что дифференцирующая цепь идеальна:

В результате получилось два слагаемых. Первое слагаемое является полезным, так как содержит требуемую производную от огибающей, а второе — вредным, так как оно представляет собой ложный сигнал, который может в сотни и тысячи раз превышать по уровню полезный сигнал.

Амплитудная частотная характеристика дифференцирующей RC-цепи (дифференцирующего звена с замедлением) изображена в табл. 4.7.

Рис. 4.30.

Для получения дифференцирования огибающей модулированного сигнала необходимо осуществить такую цепь, у которой амплитудная характеристика была бы подобна изображенной в табл. 4.7 и была бы при этом расположена симметрично относительно несущей частоты. Такая характеристика изображена на рис. 4.30, а.

Из рассмотрения характеристики следует, что звено не должно пропускать несущую частоту. Это должно быть понятным и физически, так как несущая частота в чистом виде, т. е. отсутствие боковых частот, будет при постоянном сигнале на входе (см. (4.68)). В этом случае производная сигнала (по огибающей) будет равна нулю и на выходе звена не должно быть никакого сигнала.

При изменении сигнала по какому-либо закону, например в соответствии с выражением (4.69), появятся боковые частоты, которые будут пропускаться звеном тем сильнее, чем дальше они отстоят от несущей частоты, т. е. чем больше частота огибающей. Таким образом, звено будет обладать дифференцирующими свойствами по отношению к огибающей модулированного сигнала.

Амплитудная частотная характеристика, изображенная на рис. 4.30, а, может реализоваться различным образом. Такая характеристика может

быть получена, например, от резонансной параллельной LC-цепи, Т-образной цепи и т. настроенных на несущую частоту .

Обратимся теперь ко второй указанной выше задаче. При известной частотной передаточной функции звена определим эквивалентную частотную передаточную функцию для огибающей модулированного сигнала. Для этого вспомним, что частотная передаточная функция звена (4.17)

представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуд выходной и входной величин, а аргумент — сдвигу фаз при гармоническом входном сигнале в установившемся режиме. Если на входе звена действует величина то на выходе будет

Для получения частотной передаточной функции по огибающей звена с модулированным сигналом обратимся к гармоническому сигналу по огибающей (4.69). Разложим его на боковые частоты в соответствии с выражением (4.70). Тогда, используя зависимость получим

где — вещественная и мнимая части частотной передаточной функции

Путем разложения синусов и косинусов сумм и разностей углов это выражение преобразуется к виду

Остановимся теперь на двух важных частных случаях.

1. Рассмотрим случай «симметричной» относительно несущей частоты частотной передаточной функции, что определяется равенством где звездочкой отмечена сопряженная комплексная величина. Из этого равенства вытекают два других:

Тогда формула (4.75) существенно упрощается и может быть записана в виде

Рассматривая огибающую, т. е. отбрасывая множитель и сравнивая выражения (4.76) и (4.73), убеждаемся, что эквивалентная частотная передаточная функция для огибающей может быть получена из частотной передаточной функции звена подстановкой

что согласуется с полученной ранее формулой (4.71).

Так, например, если звено типа резонансного усилителя имеет частотную передаточную функцию

то передаточная функция для огибающей будет

Переход к обычной передаточной функции может быть сделан заменой . В результате из (4.77) получаем

2. Рассмотрим теперь другой важный случай, когда передаточная функция не является «симметричной», но слагаемое в формуле (4.75), определяемое множителем отсеивается в последующих звеньях каким-либо фазочувствительным устройством, например фазовым дискриминатором. Тогда это слагаемое может быть отброшено и формула (4.74) упрощается:

Так как - функция четная, а - нечетная, то последнее выражение может быть представлено в следующем виде:

В этом случае эквивалентная частотная передаточная функция для огибающей может быть определена из выражения

Аналогичный результат может быть получен, если фазочувствительное устройство пропускает сигнал фиксированной фазы, например где Тогда вместо выражения (4.81) получается

Переход к обычной передаточной функции делается, как и выше, заменой

Формулы (4.81) и (4.82) позволяют просто находить передаточную функцию по огибающей. Однако к ним следует относиться с осторожностью. Сформулированное выше условие применимости этих формул заключалось в том, что можно было отбросить слагаемое в (4.75), пропорциональное и оставить слагаемое, пропорциональное или в общем случае Однако для этого еще недостаточно, чтобы последующее фазочувствительное устройство в принципе могло отсеивать слагаемое с множителем Необходимо, чтобы это можно было реализовать технически, для чего нужна относительная малость слагаемого с по сравнению со слагаемым с Только в этих условиях при имеющейся всегда нестабильности фазочувствительного устройства может быть уверенно выделено слагаемое с множителем

(см. скан)

В качестве примера, иллюстрирующего случай, когда формула (4.81) практически неприменима, рассмотрим опять дифференцирующую RC-цепь (рис. 4.24, а). Примем для простоты, что ее частотная передаточная функция соответствует идеальному дифференцирующему звену Тогда, в соответствии с формулой (4.81), частотная передаточная функция для огибающей будет

Это выражение показывает, что звено обладает дифференцирующими свойствами и для огибающей. Действительно, если обратиться к формуле (4.72), то видно, что при устранении слагаемого с множителем звено будет обладать дифференцирующими свойствами. Однако, как уже указывалось выше при анализе выражения (4.72), его второе (вредное) слагаемое может в сотни и тысячи раз превышать первое (полезное) слагаемое. Выделить первое слагаемое и отсеять второе практически не удается.

Поэтому обычная дифференцирующая -цепь не может применяться для дифференцирования огибающей.

Рис. 4.31.

Пользоваться формулами (4.81) и (4.82) можно тем уверенней, чем большую симметрию относительно несущей частоты будет иметь частотная передаточная функция звена При полной симметрии слагаемое с множителем в выражении (4.75) будет отсутствовать и формула (4.81) вырождается в формулу (4.77). В рассмотренном примере дифференцирующей RC-цепи частотная передаточная функция обладает сильной несимметрией относительно несущей частоты, что и привело к отрицательному результату.

В табл. 4.8 приведены приближенные значения передаточных функций для некоторых звеньев с модулированным сигналом, используемых в практике и сводящихся для огибающей к апериодическому звену первого порядка. Параметры передаточных функций определены для фиксированной фазы последующего фазочувствительного устройства Эта фаза может устанавливаться равной нулю т. е. устройство фазируется с входным сигналом звена (4.69). Фазочувствительное устройство может фазироваться также с выходным сигналом звена при постоянном входном сигнале вида (4.68). В этом случае где — фазовый сдвиг несущей частоты при входном сигнале При симметричной относительно несущей частоты частотной передаточной функции соблюдается условие

На рис. 4.31 изображена для иллюстрации переходная характеристика звена с модулированным сигналом, эквивалентная для огибающей апериодическому звену первого порядка.