§ 11.5. Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье. В главе 7 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени , то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

Возьмем квадрат модуля изображения Фурье и проинтегрируем по всем частотам от до с делением результата на

В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов Изображение Фурье заменим выражением (11.54):

В последней формуле изменим порядок интегрирования:

Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией времени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея, которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

Подставляя получим

Правая часть (11.58) и (11.59) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому сопротивлению то энергия, выделившаяся в этом сопротивлении за время будет

Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматриваемого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от до или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от до Формулы (11.58) и (11.59) и выражают энергетическую форму интеграла Фурье.

Однако эти формулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэтому удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, если энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде

Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины

Вводя обозначение

можно переписать формулу (11.60) в виде

или в виде

Величина или носит название спектральной плотности. Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по всем частотам от до дает средний квадрат исходной функции времени

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от до

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть записана в виде

где — спектральная плотность для положительных частот. Однако в дальнейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от — до так как при этом формулы получают более симметричный характер.

Весьма важным обстоятельством является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральными зависимостями: типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без доказательств [108, 120].

Таким образом, могут быть записаны следующие формулы:

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде:

Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.

Связь между спектральной плотностью и видом функции времени заключается в том, что чем «уже» график спектральной плотности (рис. 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, тем медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем «шире» график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. чем большие частоты представлены в спектральной плотности, тем тоньше структура функции и тем быстрее происходят изменения х во времени.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со

связью между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более «широкому» графику спектральной плотности должен соответствовать более «узкий» график корреляционной функции и наоборот.

Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению (11.61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции при помощи формул (11.65) или (11.67).

Рис. 11.16.

Эти формулы соответствуют так называемому двустороннему преобразованию Фурье четной функции времени

В табл. 11.3 даны некоторые функции и их изображения Фурье в соответствии с (11.65) и (11.67). В таблице используются импульсные

Таблица 11.3. Двустороннее изображение Фурье четных функций (см. скан)

функции Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четными. Это означает, что функция расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом: при

Аналогичное определение относится к функции .

Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):

где спектральная плотность соответствует процессу и, следовательно,

где D — дисперсия.

Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции (11.53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности , являющиеся изображениями Фурье Взаимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Рис. 11.17.

Рассмотрим некоторые примеры. 1. Для постоянной величины корреляционная функция равна Эта функция изображена на рис. 11.17, а жирной линией. Соответствующее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет

или, в другом виде,

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11.17, б).

Это означает, что вся мощность рассматриваемого процесса сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.

2. Для гармонической функции была получена корреляционная функция Эта функция изображена на рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет

или

График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно начала координат при и

Следовательно, мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах; (или соответственно и ).

Рис. 11.18.

Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена на одной фиксированной частоте: или

3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

спектральная плотность может быть представлена в виде

или

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 11.19) с импульсными функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник.

Рис. 11.19.

Рис. 11.20.

На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной импульсной функции, т. е. величинам

Если функция времени кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.

Если функция времени не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т. е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: дисперсия При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии:

Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным.

1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий «белый» спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от до (рис. 11.21, а):

Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении

где — сопротивление, к - постоянная Больцмана, — абсолютная температура.

Рис. 11.21.

На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция

Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х.

Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины: а следовательно, бесконечно большая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):

где

— полоса частот для спектральной плотности.

Этому процессу соответствует корреляционная функция

Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, б. Для этого процесса

Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот:

Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение

где — коэффициент, определяющий ширину полосы частот.

График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. 11.21, в. Для частот — процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот

Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:

Рис. 11.22.

Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде:

Корреляционная функция для этого процесса

Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, в.

2. Типовой входной сигнал следящей системы.

В качестве типового сигнала для следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости на входе в соответствии с рис. 11.22.

Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно.

Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (11.4).

В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание а среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, т. е. .

График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Обозначим среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой.

Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого произведения могут быть два случая.

1. Моменты времени и относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

2. Моменты времени относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю:

так как произведения с положительным и отрицательным знаками будут равновероятными.

Корреляционная функция будет равна

где — вероятность нахождения моментов времени и в одном интервале, а — вероятность нахождения их в разных интервалах.

Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке времени пропорциональна этому промежутку и равна или Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет Для интервала времени вероятность отсутствия перемены скорости, т. е. вероятность нахождения моментов времени и в одном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке так как эти события независимые.

В результате для конечного промежутка получаем

Устремив и переходя к пределу, получим

я окончательно

Знак модуля при поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78):

Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис. 11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, относительно которых процесс стационарен. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы.

Рис. 11.23.

3. Нерегулярная качка. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п.), движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.

Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому.

В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением

где — резонансная частота, — параметр затухания, D — дисперсия.

Значения находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).

Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл. 11.3)

Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения). В этом случае величина D будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения.

Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. это будет физически нереальный процесс.

Более удобная формула для аппроксимации угла качки

Соответствующая спектральная плотность

Здесь — дисперсия для угла.

При такой аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной;

Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности.

Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся.

Рис. 11.24.

Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24.