§ 12.10. Аналитическое конструирование регуляторов

Так называемая задача аналитического конструирования регуляторов была сформулирована и решена А. М. Летовым [77]. Эта задача развивалась также в работах А. А. Красовского [60] и Н. Н. Красовского [62, 63].

Скалярное управление.

Пусть имеется стационарный объект, уравнения которого для фазовых координат, записанные в матричной форме, имеют вид

Здесь — матрица-столбец фазовых координат, — квадратная матрица коэффициентов, — матрица-столбец коэффициентов, и — скаляр. Требуется определить оптимальное управление минимизирующее функционал качества

Задача управления заключается в переводе системы из начального состояния при в конечное при Из формулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива.

В рассматриваемо случае уравнение Беллмана (12.172) имеет вид

Оказывается, что функция входящая в (12.177), является функцией Ляпунова, а функция V в функционале (12.176) — ее полной производной, т. е.

чем решается вопрос об устойчивости синтезируемой системы (см. ниже § 17.2).

Так как на управление и ограничения не накладываются и то минимум в (12.177) достигается в точке, где обращается в нуль производная по т. е. при

Подставим это значение в (12.177). В результате имеем

Это — нелинейное уравнение в частных производных относительно функции Будем искать решение этого уравнения в виде квадратичной формы от фазовых координат:

Здесь — квадратная матрица коэффициентов, удовлетворяющая критерию Сильвестра

причем матрица может быть принята симметричной, т. е. функция (12.180) удовлетворяет граничному условию, так как при имеем

Дифференцируя (12.180), имеем

Подставляя полученные выражения в (12.179), приходим к уравнению вида

В левой части (12.182) находится квадратичная форма переменных Она будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов:

В результате получена система из алгебраических уравнений, содержащих такое же количество неизвестных у (при учете равенства коэффициентов

После нахождения неизвестных коэффициентов из (12.178) можно определить оптимальное управление

Аналогичный результат мбжет быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (§ 12.8).

Решение обратной задачи.

В полученных формулах для оптимального управления конструктору необходимо формировать управление в функции всех фазовых координат, так как в (12.184) все коэффициенты .

Если конструктор может использовать ограниченное число фазовых координат, то часть коэффициентов в (12.184) должна быть тождественно равна нулю. В этом случае для формирования оптимального управления можно воспользоваться решением обратной задачи и отыскать допустимую форму функционала качества при неполном управлении. Для этого функционал качества (12.176) представим в измененном виде;

Минимизация функционала вместо I не меняет задачи.

Будем считать отличные от нуля коэффициенты известными числами, а коэффициенты — неизвестными. Тогда совокупность уравнений (12.183) может быть представлена в виде

Эта система содержит неизвестных коэффициентов неизвестных коэффициентов функционала Добавляя к уравнениям (12.186)

уравнений из (12.184)

получим систему уравнений, которая в принципе может быть разрешена относительно искомых неизвестных. Если система уравнений (12.186) и (12.187) имеет решение, при котором коэффициенты удовлетворяют критерию Сильвестра (12.181), а коэффициенты функционала то задача аналитического конструирования при заданном неполном управлении имеет смысл.

Так как коэффициенты функционала получаются в виде то найденный ответ дает и решение прямой задачи. Варьируя коэффициенты управления в пределах, допускаемых условиями Сильвестра и условиями можно выбрать подходящий критерий качества и оптимальное управление.

Методика обратного решения аналитического конструирования может оказаться полезной и при возможности использования полного управления (в функции всех фазовых координат). Это объясняется тем, что система уравнений (12.186) и (12.187) оказывается линейной относительно коэффициентов и решается проще, чем система уравнений (12.183), которая нелинейна относительно искомых коэффициентов

Векторное управление.

В работах В. И. Зубова [46] рассматривается более общая задача, когда дан нестационарный объект, описываемый матричным уравнением

где — квадратные матрицы коэффициентов — матрицы-столбцы фазовых координат и управлений.

Вводится квадратичный функционал вида

где — заданные квадратные матрицы, а — положительно определенные квадратичные формы.

Решение задачи сводится к линейному управлению вида

Матрица Г определяется решением нелинейного матричного уравнения

Для стационарных объектов матрицы А и С не зависят от времени и уравнение (12.191) принимает вид

В большинстве случаев результаты, полученные при аналитическом конструировании регуляторов, не могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты. Поэтому приходится говорить лишь о приближенной реализации полученных условий оптимальности. Другие подходы к проблеме аналитического конструирования регуляторов содержатся в работах [46, 60, 62, 77, 133].