§ 18.3. Примеры исследования нелинейных систем первого класса

Рассмотрим несколько примеров применения изложенного в предыдущем параграфе метода.

Пример 1. Найдем влияние ограничения линейной характеристики двигателя (рис. 18.13, а) на процессы в следящей системе. Пусть остальные звенья системы линейны.

Рис. 18.13.

Тогда уравнение управляемого объекта с двигателем вместо (16.63) примет вид

где определяется графиком рис. 18.13, а. Применяя к правой части этого уравнения формулы гармонической линеаризации (18.22) с заменой с получаем уравнение управляемого объекта с двигателем в виде

где

что изображено графически на рис. 18.13, б. Здесь а обозначает амплитуду колебаний величины

Общее уравнение остальной части следящей системы согласно (16.53) будет

На основании (18.65) и (18.66) получаем характеристическое уравнение

После приведения его левой части к виду и подстановки получаем уравнения типа (18.36) в виде

Выясним влияние параметра к (общего коэффициента усиления) на автоколебания в данной системе. Из последнего уравнения находим

а из первого

Формула (18.70) дает график, изображенный на рис. 18.13, в, где

Графики на рис. 18.13, б и в определяют связь между амплитудой и частотой периодического решения в данной системе.

Рис. 18.14.

Найдем зависимость амплитуды от величины параметра к. Для этого, задаваясь различными будем брать из графика рис. 18.13 соответствующие значения а по формуле (18.71) вычислять В результате получим график типа рис. 18.14, а или Чтобы определить, в каких случаях каждый из них имеет место, найдем Дифференцируя (18.71) по с учетом (18.70) и приравнивая результат нулю, получаем соответствующее значение сом в виде

причем определяется подстановкой в (18.70) и (18.71), а именно:

Очевидно, что если сом то не существует и имеет место первый случай (рис. 18.14, а), а при сом — второй (рис. 18.14, б). Сравнивая (18.73) и (18.72), приходим к выводу, что для системы, параметры которой удовлетворяют условию

справедлив график на рис. 18.14, а, а для системы с параметрами

— на рис. 18.14, б.

Исследуем устойчивость найденного периодического решения по критерию (18.63). Согласно (18.66) частота не входит в коэффициенты. Поэтому в выражении (18.45) для кривой Михайлова функции совпадают с (18.69).

Найдем производные;

так как согласно рис. 18.13, б производная отрицательна.

Легко проверить, что при сол, где сом определяется формулой (18.73), критерий (18.63) удовлетворяется, а при не удовлетворяется. Отсюда делаем заключение, что все периодические решения на рис. 18.14, а устойчивы (т. е. соответствуют автоколебаниям). Вертикальными стрелками там показано, что переходные процессы с большими и меньшими амплитудами сходятся к данному периодическому процессу. На рис. 18.14, б только верхняя ветвь кривой (выше точки сом) соответствует устойчивым периодическим решениям, т. е. автоколебаниям, а нижняя — неустойчивым.

Как уже отмечалось, через здесь обозначена амплитуда колебаний величины Чтобы узнать амплитуду автоколебаний регулируемой величины , надо воспользоваться уравнением (18.65), откуда

как модуль соответствующей передаточной функции при умноженный на При этом величины определяются графиком рис. 18.14, а или

Учитывая, что при (см. рис. 18.13, б), найдем по формуле (18.71) с подстановкой из (18.72) величину отмеченную на рис. 18.14:

Точно такое же значение к является границей устойчивости для линейной системы, когда уравнение управляемого объекта с двигателем вместо (18.65) имеет линейный вид Отсюда можно сделать вывод о том, что в случае (18.75), для которого имеет место график рис. 18.14, а, данная нелинейная система сохраняет устойчивость в той же области, что и линейная система, но она обладает еще установившимся автоколебательным режимом там, где линейная система неустойчива. Следовательно, ограничение линейной характеристики типа насыщения в двигателе (рис. 18.13, а) препятствует раскачиванию системы, которое получается при к в линейной системе. Это наблюдается и на практике.

В случае же (18.76), для которого график, определяющий автоколебания, имеет вид рис. 18.14, б, автоколебания могут уже появиться при т. е. раньше наступления границы устойчивости линейной системы. Но в этом случае, как видно из рис. 18.14, б, при малых

начальных амплитудах переходного процесса (ниже кривой сохраняется еще устойчивость равновесного состояния. Здесь в области параметров (рис. 18.14, б) имеется как бы два предельных цикла (рис. 16.14, в), а в области один.

Случай, изображенный на рис. 18.14, б, называется «жестким возбуждением» автоколебаний. Такое возбуждение автоколебаний раньше наступления границы устойчивости возможно, как видно из (18.76), только при достаточно большом который, по существу, является коэффициентом гибкой обратной связи.

Рис. 18.15.

При отсутствии такой связи указанное явление не имело бы места.

На рис. 18.15, а и даны графики для величины частоты автоколебаний в зависимости от параметра к соответственно для случаев, изображенных на рис. 18.14, а и

Пример 2. Рассмотрим теперь следящую систему с линейной характеристикой привода, но учтем сухое трение совместно с линейным (рис. 18.16, а). Уравнение управляемого объекта с двигателем имеет при этом вид (16.52).

Рис. 18.16.

Здесь возможны два случая; 1) колебания без остановок, когда обеспечиваются условия первого из уравнений (16.52); 2) колебания с остановками, когда действуют попеременно оба уравнения (16.52). Рассмотрим первый случай и определим условия его существования.

Итак, записываем первое из уравнений (16.52), поделив его на в виде

с условием, что

Обозначим Тогда это уравнение будет

где

Поскольку движение предполагается без остановок, то нелинейную функцию (18.83) подвергаем гармонической линеаризации, как релейную характеристику, и на основании формулы (18.18), полагая

получаем

где а — амплитуда колебаний скорости Амплитуда колебаний самого угла при этом, очевидно, будет

Выражение (18.84) представляет собой известную формулу линеаризации сухого трения с помощью вибраций. Найдем условия, при которых она здесь справедлива. Согласно (18.81) и (18.82) имеем

откуда

что и является условием, при котором справедливо дальнейшее решение.

Характеристическое уравнение всей замкнутой системы согласно (18.82), (18.84) и (16.53) получает вид

После подстановки получаем

Чтобы исследовать влияние коэффициента к на динамику системы, выразим из этих двух уравнений величины к и через

Заметим, что при

Изменяя в интервале строим по формулам (18.87) график , представленный на рис. 18.16, б. Условие, при котором справедливо это решение, было выражено неравенством (18.85). Подставив в него значения (18.87), приводим его к виду

где

Для исследования устойчивости найденного периодического решения на основании (18.86) находим

Критерий (18.63) при этом не выполняется, что означает неустойчивость найденного периодического решения. Это и показано условно вертикальными стрелками на рис. 18.16, б.

Легко проверить, что значение совпадает с границей устойчивости линейной системы без сухого трения. Следовательно, добавление сухого трения несколько расширяет область устойчивости системы, но весьма своеобразно, а именно: неустойчивость найденного периодического решения означает, что при к и при выполнении условия (18.89) система может быть устойчивой в малом (при начальных условиях, которые дают начальную амплитуду собственных колебаний системы в переходном процессе, лежащую ниже кривой на рис. 18.16, б). Однако система неустойчива в большом (при начальных амплитудах собственных колебаний выше этой кривой). Последнее можно объяснить физически тем, что при больших амплитудах и соответственно при больших скоростях движения демпфирующее влияние силы сухого трения, которая сохраняет одну и ту же величину при любой скорости, становится несущественным, вследствие чего система оказывается неустойчивой, как и при отсутствии сухого трения.

При невыполнении условия (18.89) требуется исследование обоих уравнений (16.52) совместно (это будет уже нелинейность второго класса, так как она затрагивает обе величины: вводную и выходную ). При этом колебания угла будут происходить с остановками. Это — задача более сложная.

Пример 3. Пусть теперь в той же системе действует не сухое трение, а сопротивление движению объекта, пропорциональное квадрату скорости, с линейной составляющей рис. 18.17, а.

Рис. 18.17.

Уравнение управляемого объекта с двигателем имеет в этом случае вид (16.63). Перепишем здесь его иначе по аналогии с предыдущим примером:

где

Полагая по формулам гармонической линеаризации (18.10) получаем

Следовательно,

Составив, как и раньше, характеристическое уравнение, приходим к выражениям:

откуда находим:

Граничные значения и к совпадают здесь с прежними (18.88), но они соответствуют уже не . В результате получаем график для определения амплитуды и частоты периодического решения, изображенный на рис. 18.17, б.

Поскольку здесь

то критерий (18.63) выполняется. Поэтому найденное периодическое решение устойчиво. Следовательно, квадратичное трение приводит к автоколебаниям в той области параметров, где система без этого добавочного трения была бы неустойчивой. Это объясняется усилением демпфирующего действия квадратичной силы трения при увеличении амплитуды (и скорости) колебаний, что препятствует неограниченному раскачиванию системы. Заметим, что переход закона сопротивления движению объекта от линейного к квадратичному при больших скоростях отражает реальные явления.

Амплитуда и частота автоколебаний определяются здесь графиком рис. 18.17, б или формулами (18.92), причем амплитуда колебаний угла Р будет

Пример 4. Пусть в той же следящей системе требуется учесть влияние зазора в механической передаче между двигателем и управляемым объектом (схематически он показан на рис. 16.20) при линейной характеристике двигателя и при линейном трении. В колебательных процессах, которые здесь рассматриваются, зависимость между углами поворота (после зазора) и (до зазора) будет иметь нелинейный вид, показанный на рис. 16.20, б, где — половина ширины зазора. Кроме этой нелинейной зависимости здесь присутствует вторая нелинейность (16.54). Полагая, что момент инерции управляемого объекта велик по сравнению с приведенным моментом инерции двигателя, будем считать в уравнении

Первая нелинейность (рис. 16.20, б) после гармонической линеаризации при согласно формуле (18.30) принимает вид

где и определяются по формулам (18.27), в которых надо считать (так как характеристика рис. 16.20, б имеет наклон 45°), а именно;

причем

Вторую нелинейность (16,54) запишем в виде . Она подвергается гармонической линеаризации по формулам (18.11) также при

Рис. 18.18.

Зависимость между углами и показана на рис. 18.18. При этом из нижнего графика и из формул (16.54) видно, что

при

и (учитывая, что

при

Условие отсутствия постоянной составляющей здесь выполняется, а третья из формул (18.11) принимает вид

аналогично определяется и . Произведя интегрирование и сравнив результаты с выражениями (18.94), получаем

где то же, что в формулах (18.94). В результате вместо нелинейного уравнения (16.54) при имеем

где

причем и те же, что и в (18.94) и (18.95). На рис. 18.19, а изображены графики для величин коэффициентов

Рис. 18.19.

На основании (18.93), (18.96) и линейной части (16.53) приходим к характеристическому уравнению

Следовательно, после подстановки получим

Для исследования влияния параметра к на собственные колебания данной системы выразим величину к из каждого уравнения по отдельности:

Задаваясь разными значениями для каждого из них по этим уравнениям строим две кривые к (рис. 18.19, 6). Точка их пересечения дает соответствующие значения и к. В результате можно построить графики (рис. 18.19, в и г) зависимостей амплитуды и частоты периодического решения от параметра к (каждое построение на рис. 18.19, б дает по одной точке на каждом из графиков рис. 18.19, в и г).

При как видно из рис. 18.19, а, имеем Поэтому из выражений находим;

причем вдоль кривой на рис. 18.19, в частота изменяется в интервале

Пример 5. Пусть имеется релейная система регулирования температуры (рис. 1.35), описываемая согласно § 16.1 уравнениями (с дополнительным учетом постоянной времени привода

где х — ток в диагонали моста (управляющей обмотке реле), — характеристика реле, изображенная на рис. 18.20, а. В следующем примере произведем также учет не гистерезисного, а временного запаздывания реле.

Рис. 18.20.

Гармоническая линеаризация характеристики реле рис. 18.20, а согласно формулам (18.9) и (18.15) дает

где

На основании написанных уравнений получаем следующее характеристическое уравнение данной замкнутой системы:

где

Отсюда после подстановки получаем выражения:

Исследуем влияние параметра к на устойчивость и автоколебания данной системы.

Из (18.100) имеем

откуда после подстановки (18.99) находим

где

Тогда из второго уравнения (18.100) с учетом (18.99) получаем

На основании формул (18.102) и (18.103) можно построить графики для амплитуды в зависимости от параметра к по точкам, соответствующим различным значениям частоты как это делалось в предыдущих примерах. При этом, исходя из положительности к, согласно (18.103) нужно задавать значения в интервале

Рассмотрим частные случаи.

Пусть реле имеет характеристику вида рис. 18.20, б, где Для этого случая из (18.99) получаем:

Поэтому второе из уравнений (18.100) дает постоянное значение частоты периодического решения

Подставляя его в первое уравнение (18.100), с учетом (18.105) находим

Здесь в двух случаях: Найдем из условия равенства нулю производной к по

при .

Соответствующий график зависимости амплитуды от параметра к изображен на рис. 18.21, а. В этом частном случае релейной характеристики (рис. 18.20, б) для исследования устойчивости воспользуемся критерием (18.63), для которого предварительно находим:

Следовательно, нижняя ветвь кривой на рис. 18.21, а соответствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя — устойчивому (автоколебания).

Пусть в другом частном случае характеристика реле имеет идеальный вид (рис. 18.20, в), т. е. . Здесь получается прежнее постоянное значение и согласно (18.107) — прямолинейная зависимость

изображенная на рис. 18.21, б. Здесь возможен только автоколебательный процесс; область устойчивости равновесного состояния, имевшаяся на рис. 18.21, а, пропадает.

Как видим, зона нечувствительности имеет стабилизирующее значение для релейной системы автоматического регулирования, причем ширина области устойчивости (0 к согласно (18.108) пропорциональна ширине зоны нечувствительности . Сравнение данного решения, учитывающего инерционность регулятора с решением без учета показывает принципиальную важность учета этого фактора. Например, для характеристики вида рис. 18.20, в без учета получится только устойчивость при любых числовых значениях параметров (что нереально), а с учетом — только автоколебания (рис. 18.21, б). Для характеристики вида рис. 18.20, б вместо неограниченной области устойчивости (без учета 7) получается ограниченная и возникает еще область автоколебаний с большой амплитудой при одновременном существовании устойчивости в малом (рис. 18.21, а).

Рис. 18.21.

Далее, в третьем частном случае, когда характеристика реле чисто гистерезисная (рис. 18.20, г), т. е. из (18.99) имеем

При этом из (18.102) находим

а из (18.103)

По этим формулам построены кривые на рис. 18.21, в и г, определяющие амплитуду и частоту периодического решения в зависимости от величины параметра Устойчивость периодического решения определим здесь по методу осреднения периодических коэффициентов. Для вычисления коэффициента согласно (18.60) нужно знать производную от по х, которая, однако, обращается в бесконечность при когда и при когда Чтобы избежать этого, заменим заданную характеристику (рис. 18.20, г) новой (рис. 18.22, а), из которой заданная получается предельным переходом (другой способ, с дельта-функцией, см. в § 18.5,

рис. 18.37). Для характеристики на рис. 18.22, а при изменении величины х по закону производная 4- принимает значения, показанные на рис. 18.22, в, где

Осредненное ее значение (18.60) согласно рис. 18.22, в с предельным переходом к заданной характеристике будет

так как

Рис. 18.22.

Обозначив и взяв производные от числителя и знаменателя по получим

Итак, для исследования устойчивости получаем следующее характеристическое уравнение:

Условие устойчивости периодического решения, следовательно, по критерию Гурвица будет

Подставив сюда из (18.114) и значения а и к из (18.111) и (18.112), убедимся, что оно выполняется. Следовательно, в системе будут устойчивые автоколебания амплитуда и частота которых определяются графиками рис. 18.21, в или формулами (18.111), (18.112).

Пример 6. Пусть в той же системе характеристика реле имеет простейший вид рис. 18.20, в, но имеется постоянное по времени запаздывание . Тогда согласно (18.110), где уравнение нелинейного звена будет

В результате получим характеристическое уравнение системы

Подстановка с учетом выражения даст два уравнения:

из которых находим два соотношения:

Первое из них определяет частоту (решается графически), а второе — амплитуду автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления регулятора к и от других параметров системы.

Заметим, что во всех случаях, рассмотренных в примере 5 и в данном примере релейной системы, через обозначалась амплитуда автоколебаний величины х. Амплитуда же автоколебаний регулируемой величины (температуры) будет

Пример 7. Рассмотрим систему автоматического регулирования с приводом регулирующего органа в виде двухфазного двигателя переменного тока. Характеристика этого двигателя для разных значений управляющего напряжения имеет вид, представленный на рис. 18.23, а.

Рис. 18.23.

Линеаризуя характеристики, обычно считают

Но это справедливо в первом приближении только для левого участка характеристики. Если же используется большая часть характеристики, то необходимо учесть ее нелинейность. Имея в виду, что на рис. 18.23, а с увеличением содв коэффициент уменьшается, а коэффициент увеличивается, примем для описания этой характеристики вместо (18.116) следующее нелинейное выражение;

(абсолютные значения в коэффициентах поставлены потому, что содв меняет знак, а сами коэффициенты должны оставаться положительными числами). Аналогично можно подбирать и любой другой более подходящий нелинейный закон для описания характеристик двигателя.

Введем для дальнейшего обозначение

Тогда дифференциальное уравнение двигателя

где момент инерции всех вращаемых двигателем масс, приведенных к валу двигателя, можно записать в виде

Здесь имеем три нелинейные функции:

Гармоническая их линеаризация по правилам § 18.1 дает:

Подставляя это в (18.119), получаем следующее уравнение двухфазного двигателя (для колебательных процессов):

вместо обычного линейного где

Здесь а обозначает амплитуду колебаний угловой скорости двигателя .

Далее, скорость перемещения регулирующего органа с учетом передаточного числа редуктора и с обозначением (18.118) будет

Уравнение регулируемого объекта и уравнение чувствительного элемента регулятора возьмем соответственно в виде

где — отклонение регулируемой величины.

Характеристическое уравнение всей замкнутой системы будет

где

После подстановки получаем:

Рассмотрим при этом влияние параметра к (общего коэффициента усиления регулятора). Второе из уравнений (18.125) дает

Из (18.121) видно, что . Поэтому полученная формула дает зависимость амплитуды от частоты искомого периодического решения в виде графика, показанного на рис. 18.23, б, где

Далее, первое из выражений (18.125) при с использованием второго приводит к формуле для параметра к, влияние которого рассматривается:

По этой формуле, используя предыдущие результаты, получаем график зависимости амплитуды автоколебаний от величины параметра к, показанный на рис. 18.23, в.