§ 11.7. Прохождение случайного сигнала через линейную систему

Рассмотрим линейную систему (рис. 11.25) с передаточной функцией и функцией веса Пусть на входе действует случайный сигнал с корреляционной функцией

Рис. 11.25.

Выходной сигнал на основании формулы свертки (7.44)

Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем

Для получения корреляционной функции на выходе запишем исходную формулу для центрированных значений для двух моментов времени:

После перемножения получим

Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию

Для определения дисперсии на выходе в формуле (11.98) следует положить . Тогда

В случае использования канонического разложения случайной функции

выходная величина может быть представлена в виде

где определяется формулой (11.95), а координатные функции

Корреляционная функция выходного сигнала

а дисперсия

Для нахождения математического ожидания и координатных функций в соответствии с выражениями (11.95) и (11.102) могут использоваться различные методы построения переходных процессов (см. главу 7).

В случае, когда на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный процесс, корреляционная функция зависит только от сдвига Однако на выходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из общего выражения (11.98):

а дисперсия — из (11.99):

Если рассматриваемая система устойчива, то стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены из (11.105) и (11.106), если положить Тогда

Пусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функцией и функцией веса действует белый шум с корреляционной функцией Тогда в соответствии с (11.106) дисперсия на выходе будет

т. e. дисперсия растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что так как звено не является устойчивым, а оно находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчиво).

Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рис. 11.25) более удобно исходить из известной спектральной плотности на входе Тогда можно легко найти спектральную плотность выходного сигнала. Действительно, по определению спектральная плотность на входе связана с изображением Фурье случайной величины соотношением (11.61);

Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала:

В линейной системе изображения Фурье связаны между собой посредством частотной передаточной функции;

Отсюда можно найти

или

Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное выше доказательство, вообще говоря, не является строгим, так как существование стационарного случайного процесса на выходе не доказано.

При известной спектральной плотности выходной величины может быть найдена корреляционная функция по преобразованию Фурье (11.66) или (11.68).

Получим выражение (11.109) более строго. Для этого используем формулу (11.107). Так как в реальных системах весовая функция тождественно равна нулю при то нижние пределы интегрирования можно положить равными — Полагая, что на входе действует центрированный процесс имеем

Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционной функцией соотношением (11.65):

Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем

Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать.

Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность;

Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины то на выходе для случайной величины также будет иметь место нормальное распределение.

При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида

где представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной

Наивысшую степень знаменателя обозначим Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде

где

Полином содержит только четные степени Полином для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка а множитель означает поворот комплексного числа на угол у.

Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла

В общем случае при любом для устойчивой системы интеграл может быть представлен в виде [38]

где

совпадает со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выражением

Интегралы такого вида вычислены до и сведены в таблицы (см. приложение 2).

Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формул представляет собой — определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.

В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала через линейную систему.

Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство с передаточной функцией спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на

при двойном дифференцирования — на

Статистическое интегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входной величины на

при двойном интегрировании — на