§ 8.2. Точность в типовых режимах

Для оценки точности системы регулирования используется величина ошибки в различных типовых режимах. Ниже будут рассмотрены наиболее употребительные режимы.

1. Неподвижное состояние.

В качестве типового режима рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях задающего и возмущающего воздействий. Ошибка системы в этом случае называется статической. Величина ошибки может быть найдена из общего выражения (5.2). Для этого необходимо положить Далее необходимо учесть действующие на систему возмущения. В общем случае их может быть несколько: и т. д. Тогда в правой части (5.2) появится несколько слагаемых, определяемых имеющимися возмущениями. В неподвижном состоянии необходимо положить Затем можно использовать изображения функций по Лапласу или Карсону — Хевисайду. Используем, например, изображения Карсона — Хевисайда. Тогда изображение постоянной величины равно ей самой, т. е. . Далее необходимо воспользоваться теоремой предельного перехода и получить установившееся значение ошибки (статическую ошибку):

где I — число действующих на систему возмущений,

Это же выражение может быть получено из операторного уравнения (5.16), если оператор дифференцирования - положить равным нулю.

Первое слагаемое (8.1) представляет собой составляющую статической ошибки, определяемую задающим воздействием. Эта составляющая, в соответствии с изложенным в § 5.3, может быть отличной от нуля только в следящих системах при статическом регулировании.

В статических системах представляет собой общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи. В этом случае первое слагаемое (8.1) может быть представлено в виде

Однако эта составляющая ошибки практически всегда может быть сведена к нулю посредством использования неединичной обратной связи или путем масштабирования задающего воздействия или регулируемой величины (см. § 9.3).

При астатическом регулировании . Поэтому первая составляющая (8.1) обращается в нуль.

В системах стабилизации что также обращает в нуль . В связи с этим практически во всех случаях первая составляющая статической ошибки может быть принята равной нулю.

Второе слагаемое (8.1) никогда не обращается в нуль, так как даже использование регулирования с астатизмом высокого порядка и использование принципа регулирования по возмущению (см. § 9.2) могут обратить в нуль лишь часть слагаемых, находящихся под знаком суммы (8.1).

При выводе выражения (8.1) предполагалось, что чувствительный элемент, определяющий разность между требуемым и действительным значениями регулируемой величины, является идеальным и определяет имеющуюся ошибку в соответствии с выражением В действительности чувствительному элементу как излхерительному органу присущи свои ошибки. Ошибку чувствительного элемента можно рассматривать также как некоторое возмущающее воздействие и считать, что она входит во второе слагаемое (8.1). Однако на практике удобнее эту ошибку учитывать отдельно и считать, что статическая ошибка равна (при

где представляет собой второе слагаемое в выражении (8.1) и определяется внешними возмущениями, х является ошибкой чувствительного элемента.

Рассмотрим теперь ошибку регулирования Примем для простоты, что на систему действует одно возмущающее воздействие Тогда в статической системе получим

В этом равенстве представляет собой отношение установившейся ошибки к постоянному возмущению (коэффициент статизма) в системе с разомкнутой цепью регулирования. Эта же величина, деленная на соответствует коэффициенту статизма в замкнутой системе регулирования. Величина , по сути дела, показывает эффективность регулирования с точки зрения уменьшения установившейся ошибки.

В астатической системе Однако это еще не означает, что так как возможен случай, когда Вследствие этого для каждого действующего на систему возмущения необходимо определить факт наличия или отсутствия установившейся ошибки посредством нахождения значения (8.4).

Для иллюстрации этого на рис. 8.1 изображена структурная схема системы автоматического регулирования. Она содержит объект с перодаточной функцией и астатический регулятор с передаточной функцией Пусть объект не имеет интегрирующих свойств и

На систему действуют два возмущения . В разомкнутой системе (как показано на рис. 8.1)

и в замкнутой

где — передаточная функция разомкнутой системы.

Отсюда по теореме предельного перехода определяем установившуюся ошибку, положив

Рис. 8.1.

Таким образом, первое возмущение дает статическую ошибку, а второе не дает. Из рассмотрения рис. 8.1 видно, что возмущение приложено до интегрирующего звена, а — после. Из этого и вытекает правило, по которому можно определить, устраняет ли астатический закон регулирования статическую ошибку от какого-либо возмущения. Для выполнения этого необходимо, чтобы интегрирующий элемент был включен в цепь регулирования до места приложения данного возмущения. Это объясняет, в частности, тот факт, что включение интегрирующих элементов и повышение степени астатизма не дает возможности устранить ошибку чувствительного элемента которую можно рассматривать как возмущение.

2. Движение с постоянной скоростью.

В качестве второго типового режима используется режим движения системы с постоянной скоростью который будет наблюдаться в установившемся состоянии при задающем воздействии, изменяющемся по закону где и при постоянных значениях возмущающих воздействий Этот режим имеет смысл только в следящих системах и системах программного регулирования.

Используя изображения Карсона — Хевисайда, в этом случае получаем

Из общего выражения для ошибки (5.16) посредством теоремы о предельном переходе может быть найдена установившаяся ошибка в этом режиме:

Второе слагаемое этого выражения дает статическую ошибку (при условии, что возмущающие воздействия такие же, как в неподвижном положении системы), в которой может быть также учтена ошибка чувствительного элемента.

Первое слагаемое (8.5) имеет смысл только при астатизме первого порядка, т. е. в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде (5.42)

Тогда выражение (8.5) приводится к виду

Таким образом, в этом типовом режиме установившаяся ошибка будет слагаться из статической ошибки и добавочной скоростной ошибки, равной отношению скорости задания к добротности системы по скорости:

Так как система может двигаться с различными скоростями, то качества ее удобнее характеризовать не самой скоростной ошибкой, которая является переменной величиной, а значением добротности по скорости

В статических системах первое слагаемое (8.6) стремится к бесконечности; при астатизме выше первого порядка это слагаемое стремится к нулю. Поэтому режим движения с постоянной скоростью используется для оценки точности только систем с астатизмом первого порядка, главным образом следящих систем, для которых такой режим является характерным.

3. Движение с постоянным ускорением.

В качестве третьего типового режима используется режим установившегося движения системы регулирования с постоянным ускорением . В этом случае задающее воздействие меняется по закону Возмущающие воздействия принимаются постоянными, как и во втором типовом режиме. Этот режим имеет смысл только в следящих системах и системах программного регулирования.

Аналогично изложенному выше, установившееся значение ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения

Второе слагаемое (8.9), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (8.9) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

Тогда выражение (8.9) приводится к виду

Первое слагаемое (8.10) представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения. Как и в предыдущем случае, качество системы может быть оценено величиной добротности по ускорению

Этот типовой режим используется только для систем регулирования с астатизмом второго порядка, главным образом следящих систем.

4. Движение по гармоническому (синусоидальному) закону.

Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системы регулирования. Задающее воздействие

принимается изменяющимся по закону

В зависимости от конкретного вида системы регулирования возмущающие воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или меняться.

Случай постоянства возмущающих воздействий приводит, как и в рассмотренных выше втором и третьем типовых режимах, к появлению некоторой постоянной ошибки

Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системы в этом режиме меняются во времени. Это объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы, а следовательно, одновременно будет меняться направление действующих в системе сил сухого трения. Этот случай является довольно, сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам регулирования. Рассмотрим ошибку, определяемую только первым слагаемым выражения (5.16):

В линеаризованной системе при гармоническом задающем воздействии (8.12) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой

Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (8.13) на основании символического метода подстановкой

Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия: то, следовательно, модуль знаменателя (8.15) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (8.15) заменить приближенным

где — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при

Рис. 8.2.

Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.

Формула (8.16) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик . В этом случае модуль в децибелах, т. е. равен ординате л. а. х. при частоте (рис. 8.2, а).

Простота выражения (8.16) позволяет легко решить обратную задачу, т. е. сформулировать требования к л. а. х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемся режиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитуды задающего воздействия и допустимой амплитуде ошибки вычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах:

Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при частоте управляющего воздействия Полученная точка (рис. 8.2, б) обычно называется контрольной точкой для л. а. х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения , л. а. х. должна проходить не ниже контрольной точки Если л. а. х. пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л. а. х. пройдет ниже точки то ошибка будет больше допустимого значения.