§ 15.2. Использование z-преобразования

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой

Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:

Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20):

В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина где с — абсцисса абсолютной сходимости. Если то ряд, определяемый формулами (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.

Как следует из (15.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функцией величины Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроме того, параметр

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к z-преобразованию ниже будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.

Под z-преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

В этих формулах введено новое обозначение Из них следует, что z-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения.

Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изображением (-преобразованием). Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны в символической форме:

Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

где

Ряды (15.29) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа: где с — абсцисса абсолютной сходимости.

В табл. 15.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а также производящих функции времени и их изображений Лапласа.

В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция [68].

(см. скан)

(см. скан)

Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как -функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл. 15.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при . В некоторых изображениях табл. 15.1 использованы полиномы которые могут быть представлены в виде определителя [136]

Некоторые частные значения этого полинома:

Операцию нахождения z-преобразования от решетчатой функции (15.30) или от непрерывной производящей функции (15.31) можно распространить на изображение Лапласа непрерывной производящей функции

Пусть решетчатая функция получается из непрерывной функции квантованием в моменты времени Введем вспомогательную импульсную функцию, образованную умножением исходной непрерывной функции на последовательность -функций

Найдем преобразование Лапласа введенной функции

Так как интеграл от -функции равен единице, то имеем

где

Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным z-преобразованию исходной непрерывной производящей функции.

Обозначив последовательность -функций вида где через импульсную функцию при , можно представить следующим образом:

Применим к левой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа. В соответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено -преобразование исходной непрерывной функции времени

Используем далее теорему свертки в комплексной области

Здесь Кроме того,

а также

Интегрирование в (15.40) ведется по прямой где с — число, большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружности радиуса . Полуокружность может быть выбрана как в левой, так и в правой части комплексной плоскости. В последнем случае внутрь контура интегрирования попадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством или Значение полюса

Для вычисления интеграла удобно обозначить

Тогда искомый интеграл можно представить в виде

Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать

Окончательное выражение для искомого z-преобразования будет при

Эта формула справедлива при любом значении Однако при она становится неверной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Для этого случая можно показать [136], что z-преобразование

образование должно вычисляться в соответствии с выражением

Операцию нахождения -преобразования по преобразованию Лапласа символически можно записать, аналогично формулам (15.30) и (15.31), в виде

Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение. В большинстве случаев нахождение -преобразования для изображения Лапласа проще осуществить переходом к оригиналу известными методами и использованием затем табл. 15.1.

Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к -преобразованию. Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа. Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных функций кроме случаев, оговоренных особо.

1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть решетчатая функция определяется выражением

Тогда для ее изображения можно записать

2. Теорема запаздывания и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов . Тогда из формулы (15.29) следует, если обозначить

Здесь — изображение функции Если исходная решетчатая функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается;

Если сдвиг функции происходит влево (упреждение) и рассматривается функция , где — целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что

Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается в нуль, если при

При запаздывании на не целое число периодов приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция , где целая, дробная часть запаздывания. Если смещение удовлетворяет условию при то можно показать, что

Если

При использовании табл. 15.1 для нахождения изображений следует вместо подставить или в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту Тогда из формулы (15.29) следует:

Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции соответствует изображение . Тогда можно показать, что

Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид

5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50)

Если — целое число, то аналогичным образом

причем

Если решетчатая функция равна нулю в первых к точках оси времени, т. е. , то формула (15.58) упрощается:

Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (15.60) упрощается:

Для обратной разности при для

Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т 0 (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу:

К такому же пределу стремится множитель в (15.59). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.

6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12):

Составим первую прямую разность этой суммы

и возьмем -преобразование от правой и левой частей

На основании (15.59) имеем, далее,

Отсюда можно найти изображение неполной суммы

Распространяя эту зависимость на случай -кратного суммирования ложно записать

Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно найти первую обратную разность

и ее изображение из (15.61)

Отсюда изображение полной суммы

Для случая -кратного суммирования

Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства

Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору в непрерывных системах, в первом случае играет оператор во втором случае — оператор . В случае перехода к пределу при обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.

7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет где Тогда на основании (15.29) можно записать

Из (15.69) следует, что при изменении периода в X раз необходимо в изображении решетчатой функции заменить z на на . Так, например, если рассматривается решетчатая функция то при введении периода в соответствии с табл. 15.1 изображение будет

где . На рис. 15.8 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (рис. 15.8, а), растянутым периодом при (рис. 15.8, б) и сжатым периодом при (рис. 15.8, в).

Рис. 15.8.

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой функции отрицательна то, положив в имеем

9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции и на основании (15.47) найдем ее изображение

Далее на основании (15.70) найдем сумму ординат

Кроме того, можно записать

Из двух последних выражений следует:

Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде:

10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность

и на основании (15.48) найдем ее изображение

Рассмотрим теперь предел выражения

Тогда из последних двух формул можно найти

Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответствующих выражений для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции по ее изображению Лапласа:

11. Свертка решетчатых функций. Если

то можно показать, что

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.

12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное z-преобразование:

Заметим, что аргумент изображения обладает свойством

где к — произвольное целое число. Вследствие этого изображения представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргумента с периодом что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения Удобнее использовать интервал — так как он оказывается аналогичным интервалу частот — рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости область (рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение

Рис. 15.9.

Изображение может иметь в этой области особые точки типа полюсов — (где . Полюсы могут быть или вещественными или комплексно сопряженными. В случае достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границе области).

Рассмотрим выражение (15.29):

Умножим левую и правую его части на , где — целое число, и проинтегрируем его вдоль линии (рис. 15.9) в пределах от до с где с — произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости:

При этом все полюса будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования Это и дает право изменить в (15.78) порядок операций интегрирования и суммирования.

Если , то

Если

Вследствие этого (15.78) можно представить в виде

Заменяя на получим окончательно формулу обращения

Так как то формула обращения (15.79) может быть также представлена в другом виде:

Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат И радиусом , где — полюсы функции

В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке может быть определено из выражения

В случае полюса кратности значение интегрального вычета в точке определяется выражением

Если функция имеет нулевой полюс кратности то для функции при полюс будет иметь кратность . В этом случае значение интегрального вычета в точке будет

Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции:

Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.

13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см., например, табл. 15.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разложения.

а) Пусть изображение представляет собой отношение двух многочленов;

причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы

где производная по корни знаменателя. Элементарному слагаемому соответствует оригинал , где (см. табл. 15.1). В табл. 15.1 единственный корень дроби первой степени обозначен

Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом:

б) Пусть изображение не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда, как следует из (15.73), начальное значение решетчатой функции

Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и (15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции, изображение которой будет Для тога чтобы получить в результате искомую функцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить на результате имеем

причем последнее выражение будет справедливым только для

в) Пусть изображение не имеет нулевого корня числителя причем степень равна степени знаменателя Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка . В соответствии с формулой (15.29) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции Поэтому

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (15.88), которая справедлива для

г) Если изображение можно представить в виде некоторой дробнорациональной функции умноженной на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции которое равно , т. е.

то можно показать, что формула разложения приобретает вид

Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

д) Пусть изображение имеет нулевой полюс кратности и простые остальные полюсы

причем степень числителя меньше степени полинома Тогда на основании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде

При равенстве степеней числителя и полинома следует выделить делением на нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде

Здесь — значение оригинала в момент Далее можно воспользоваться формулой (15.90), заменив в ней на

е) Пусть изображение имеет полюс кратности а все остальные полюсы простые:

причем степень числителя меньше степени знаменателя.

Тогда в соответствии с (15.82) и (15.88) оригинал будет

Эта формула справедлива для 1. При значение оригинала

Для случая двойного корня формула (15.91) приобретает вид

Так, например, если

то

что совпадает с табл. 15.1.

В случае, когда степень числителя равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка делением числителя знаменатель и рассматривать далее остаток от деления.

14. Разложение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения z-преобразования (15.29) следует:

Разложив любым способом изображение ряд Лорана (ряд по

убывающим степеням

и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала или в дискретных точках без нахождения полюсов изображения

15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (15.15)

с начальными условиями Найдем z-преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на тактов

Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить

В правой части (15.93), кроме изображения решетчатой функции находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена

Из (15.93) можно найти изображение искомой решетчатой функции

где

Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу

Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции.

Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19)

с начальными условиями

Изображение решетчатой функции запаздывающей на тактов, всоответствии с (15.48) будет

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на тактов.

При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94). Переход

к искомой решетчатой функции осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.

Особый интерес представляем случай, когда до момента времени искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид

Рассмотрим разностное уравнение вида (15.19), но записанное в более общем виде:

Если ввести предположение, что решетчатая функция тождественно равна нулю при кроме того, функция в правой части (15.96) прикладывается в момент времени то переход к изображениям дает

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

Рис. 15.10.

Здесь введена дискретная передаточная функция которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.

16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию

где к и М — целые числа, причем М представ ляет собой относительный период (рис. 15.10, а).

Первая гармоника имеет относительную угловую частоту

Функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными

Число гармоник равно целой части

Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме:

где

Для при

Комплексные амплитуды могут находиться из формул: при

при

Для при

и при

Для симметричной периодической функции (рис. 15.10, б), т. е. при выполнении условий формула для комплексной амплитуды принимает вид

Из последнего выражения следует, что при четном будет , т. е. четные гармоники отсутствуют. При нечетном

Если нечетно, то при

Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме;

где для четных для нечетных

Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15,99) применим теорему сдвига (15.50):

Отсюда следует:

Сумма в правой части (15.113) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале .

Для симметричной периодической функции аналогичным образом можно получить

Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рис. 15.10, в: