§ 22.2. Простейшие случайные процессы в нелинейных системах

В данном параграфе рассматриваются такие задачи, в которых регулярная составляющая процесса х (математическое ожидание) постоянна или медленно меняется во времени по сравнению с составляющими основных частот спектра случайной составляющей Обратимся к нелинейным системам, динамика которых описывается уравнениями вида

где — внешнее воздействие, представляющее собой случайный процесс, причем

Здесь — заданное математическое ожидание (регулярная составляющая), а — центрированная случайная составляющая.

Пусть параметры системы таковы, что автоколебания отсутствуют и система устойчива относительно равновесного состояния. Применив статистическую линеаризацию (22.3) и подставив полученное выражение в заданное уравнение (22.15), разобьем последнее на два уравнения:

соответственно для регулярных (математических ожиданий) и случайных (центрированных) составляющих. При этом

определяются для каждой заданной нелинейности, как указано в § 22.1. Рассмотрим в общем виде две различные задачи.

Первая задача. Если имеет место стационарный процесс, то величины являются постоянными (имеет место некоторый установившийся режим) и уравнение (22.17) принимает алгебраический вид:

Здесь фигурируют две неизвестные: Поэтому в принципе отсюда можно лишь выразить величину х как функцию

Далее по линейной теории случайных процессов, описанной в главе 11, производится исследование уравнения (22.18). В этом уравнении величина задана спектральной плотностью или корреляционной функцией Линейная теория дает

где в выражении

необходимо x заменить найденной выше функцией (22.20). Тогда в уравнении (22.21) останется одна неизвестная величина Учитывая формулы (11.91) и (11.92), уравнение (22.21) можно записать в виде

где h — постоянный множитель, выносимый за знак интеграла (формулы для вычисления интеграла приведены в приложении 2).

Таким образом, путем решения уравнения (22.23) с подстановкой (22.20) будет найдено среднеквадратичное отклонение а затем по формуле (22.20) будет вычислено и математическое ожидание х, т. е. полностью определится искомое приближенное решение уравнения (22.15):

Это решение справедливо для случая установившегося режима при стационарном случайном процессе.

Однако зависимость далеко не всегда можно выразить из уравнения (22.19) в явном виде ввиду сложности выражения Поэтому в большинстве случаев придется решать совместно два уравнения, (22.19) и (22.23), либо численно, путем последовательных приближений, либо графически.

Можно применять, например, следующий графический прием. Представим уравнение виде двух уравнений:

Первое из них дает прямую 1 (рис. 22.7, а), а второе — серию кривых 2 для различных постоянных значений Перенесявсе точки пересечения этих кривых с прямой 1 на плоскость координат (рис. 22.7, б), получим зависимость в виде кривой 5, так как каждой точке пересечения на верхнем графике соответствовало определенное значение ат. После

этого построим (рис. 22.7, б) еще одну зависимость в виде кривой 4 по формуле (22.23), подставляя в правую часть этой формулы значения аж, взятые для каждого х из кривой 3. Очевидно, что координаты точки пересечения С кривых 3 и 4 представляют собой искомый результат совместного решения уравнений (22.19) и (22.23).

Вторая задача. Перейдем теперь к решению другой задачи, когда исследуется не установившийся процесс.

Часто в автоматических системах управления разложению искомого решения (22.24) на соответствует разложение его на полезный регулярный сигнал х и случайную помеху Когда полезный сигнал управления х изменяется во времени, процесс уже не будет стационарным. Однако, если помехи (флуктуации) характеризуются спектром значительно более высоких частот, чем полезный сигнал, можно считать последний медленно меняющимся. Тогда можно исследовать случайный процесс в первом приближении как стационарный, применяя формулу (22.23). Но при этом для определения регулярной составляющей х нельзя пользоваться алгебраическим уравнением (22.19), а надо обращаться к дифференциальному уравнению (22.17).

В этом случае описанное выше графическое решение не годится и следует поступать иначе. Сначала надо из уравнения (22.23) определить зависимость Для этого по аналогии с графическим решением (21.25) разобьем уравнение (22.23) на два уравнения:

Первое из них дает параболу 1 (рис. 22.8), а второе — серию кривых 2 при разных постоянных значениях х.

Рис. 22.7.

Рис. 22.8.

Перенеся ординаты их точек пересечения на плоскость и отложив для каждой из них соответствующие кривым 2 абсциссы х, получим в виде кривой 3 (рис. 22.8) искомую зависимость

Подставив полученную зависимость в вычисленное для заданной нелинейности согласно § 22.1 выражение

исключим из него величину и получим функцию от одной переменной

которую, как и в главе 19 и § 21.2, можно назвать функцией смещения так как здесь математические ожидания представляют собой смещения центра случайных составляющих.

Когда функция смещения (22.28) найдена, ее можно подставить в уравнение (22.17);

и отсюда по заданной функции найти путем решения дифференциального уравнения регулярную составляющую процесса

Рис. 22.9.

В большинстве задач функция смещения (22.28) будет иметь вид плавной кривой (рис. 22.9), которую в некоторых пределах можно подвергнуть обычной линеаризации

В случае, если система такова, что линейная часть с передаточной функцией

не пропускает спектр частот, соответствующий флуктуациям и определяемый спектральной плотностью , отыскание величины значительно упрощается, а именно из (22.21) следует

т. е. не будет зависеть от формы нелинейности и от величины х.

В этом случае вместо дифференцирования функции смещения (22.28) можно определить непосредственно 2) из (22.27):

Здесь получается как функция от

Затем надо подставить величину найденную из формулы (22.31).

Вместо этого можно воспользоваться кривой на рис. 22.3, б-22.6, б, соответствующей найденному значению При этом вычисление интеграла (22.31) производится по готовым формулам (см. приложение 2).

В результате подстановки (22.30) или (22,32) уравнение для определения регулярной составляющей (22.29) станет линейным:

Оно решается при помощи обычного характеристического уравнения

Важно отметить, однако, следующее. Согласно формулам (22.21) и (22.31) величина зависит от спектральной плотности помехи . Поэтому и определяемая через величину форма функции смещения (22.28) и крутизна ее (рис. 22.9) зависят не только от параметров самой системы, но также и от спектральной плотности помехи Но если зависит от , то согласно (22.34) и (22.35) все статические и динамические качества и даже устойчивость системы по полезному сигналу будут зависеть не только от параметров самой системы, но и от параметров спектральной плотности внешней случайной помехи. Следовательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система может при определенном уровне помех потерять свои качества, т. е. выйти из строя как система автоматического управления не по причине того, что система перестает фильтровать полезный сигнал, как бывает обычно, а потому, что основной контур регулирования меняет свои динамические качества с изменением или даже становится неустойчивым.

Возможны случаи, когда это специфическое для нелинейных систем явление будет наступать раньше, чем система, рассчитанная как линейная, перестанет фильтровать полезный сигнал. С этой точки зрения учет фактически имеющихся в системе автоматического управления нелинейностей при наличии высокочастотных (по сравнению с полезным сигналом) помех является чрезвычайно важным для практики. Это столь же важно, как и учет влияния вибрационных синусоидальных помех, рассмотренный в § 21.2. Результаты решения обеих задач аналогичны.

Очевидно, что описанное специфическое для нелинейных систем влияние помех в некоторых случаях может и улучшать динамические качества системы.

Привлекательной стороной изложенного метода является то, что исследование качеств переходных процессов, всех частотных характеристик и других качеств системы управления по полезному (регулярному) сигналу производится любыми методами линейной теории автоматического регулирования по уравнению (22.34). Несмотря на эту линеаризацию решения задачи, хорошо выявляются и все важные для практики специфические нелинейные явления благодаря описанному методу определения коэффициента учитывающему несправедливость принципа суперпозиции для нелинейных систем.

Важно иметь в виду еще следующее. Исследуя методами линейной теории регулирования по уравнению (22.34) изменение статических и динамических качеств системы по полезному сигналу с изменением структуры и параметров этой системы, надо обязательно учитывать при этом и изменение самого коэффициента вытекающее из выражений (22.33) и (22.31) или (22.21).