§ 12.8. Использование классических вариационных методов

Пусть в качестве критерия качества рассматривается функционал вида

при заданных граничных условиях . В подынтегральное выражение (12.129) здесь не входят производные выше первой от координат и управлений Если не наложено никаких ограничений, то и и: принадлежат открытым областям.

Решение задачи в этом случае дается уравнениями Эйлера, записанными для всех координат и всех управлений, входящих в (12.129):

где — частные производные от подынтегральной функции (12.129) по соответствующим переменным. Это решение определяет пучок интегральных кривых (экстремалей) из которых необходимо выбрать траекторию, проходящую через заданные начальную и конечную точки.

При этом функции должны принадлежать к так называемому классу функций , т. е. должны иметь непрерывных производных. В рассматриваемом случае (12.129) наивысшая производная является первой и функции должны иметь две непрерывные производные.

Кроме того, для установления факта минимизации функционала (12.129) необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия

Эти условия аналогичны требованию положительности второй производной в точке минимума функции

Однако задача без ограничений не имеет смысла применительно к системам регулирования и управления. Введем ограничения в виде связей типа или (12.126). Тогда в уравнениях (12.130) вместо функции должна использоваться функция

где — произвольные множители Лагранжа, в общем случае зависящие от времени Это будет вариационная задача на так называемый условный экстремум (т. е. при наличии наложенных связей).

При учете связей в виде дифференциальных уравнений класс функций должен определяться по наивысшей производной выражения (12.131).

Если рассматривается одна переменная но функционал включает в себя производные более высоких порядков и имеет, например, вид

то уравнения Эйлера будут иметь вид

Как и ранее, при наличии связей вместо функции должна рассматриваться функция Н, определяемая (12.131). Класс функций определяется по наивысшей производной (12.131) m-го порядка.

Отметим, что решение уравнений (12.130) или (12.133) часто приводит к корням характеристического уравнения, половина которых лежит в левой, а половина — в правой полуплоскости. Это наблюдается при использовании квадратичных функционалов и конечном времени регулирования

Для устранения неустойчивости, которая получится в случае присоединения подобного регулятора к системе (если, конечно, не обеспечивается его отключение после завершения требуемого процесса перевода из одного состояния в другое), можно, например, действовать аналогично изложенному в § 11.9 и отбросить в решении те полюсы передаточной функции, которые лежат в правой полуплоскости. Это соответствует, вообще говоря, переходу к функционалу вида

т. е. бесконечному времени регулирования.

В этом случае искомые функции должны принадлежать к классу причем производная порядка может иметь разрыв первого рода в точке

При использовании изопериметрических ограничений типа (12.127) задача оптимизации решается также в соответствии с уравнениями (12.131), но должна быть использована функция

где — произвольные постоянные множители Лагранжа. В этом случае для определения произвольных постоянных и множителей к граничным условиям должна добавляться совокупность условий (12.127).

Рассмотрим простейшие примеры. Пусть объект управления описывается уравнением

где

Цель управления заключается в переводе объекта из состояния при в состояние при . В качестве критерия качества примем минимум функционала

где — некоторый весовой коэффициент.

Для функции (12.131)

определим производные

Далее в соответствии с (12.133) находим а также

Совместное решение (12.136) и (12.139) дает характеристическое уравнение

Это уравнение содержит только четные степени р. Поэтому, если половина корней лежит в левой полуплоскости, то половина — в правой.

Упростим задачу и положим Тогда получим характеристическое уравнение в виде

Решение его дает корни

Теперь можно записать выражение для управляемой величины:

где — произвольные постоянные. Из начального и конечного условий можно определить, что а также

Если то . Тогда

Отметим, что принятие более сложного функционала

не усложняет исследования и дает корни вместо (12.141) в виде

Пусть теперь в рассматриваемом примере функционал не содержит управляющей величины и имеет, например, вид

Тогда для функции (12.131)

имеем . Отсюда следует, что . Тогда из уравнения Эйлера

получаем характеристическое уравнение и корни:

Уравнение экстремали при

не зависит от вида полинома . Подобный результат был получен другим способом ранее в § 8.8, когда экстремаль была решением характеристического уравнения

Однако при отсутствии ограничений на вид реализация экстремали (12.148) может привести к физически не осуществимым регуляторам. Действительно, из (12.136) следует, что регулятор должен обеспечить управляющее воздействие вида

Однако уже первая производная (12.148) имеет при разрыв первого рода, а вторая и следующие производные содержат слагаемые типа -функции и ее производных:

Поэтому физическая реализация возможна для степени не выше первой, но даже и в этом случае регулятор должен быть практически безынерционным.

Получение физически не реализуемого регулятора произошло вследствие отсутствия ограничений или учета управления в принятом функционале качества (12.146). Для получения возможности применения инерционных регуляторов в функционал качества можно вводить кроме управления и его производные. Однако в этом случае смысл функционала качества становится неясным.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, у которой объект управления описывается дифференциальным уравнением

с начальным условием . Требуется определить оптимальное управление и переводящее систему в состояние с бесконечным временем регулирования и минимизирующее функционал

Рассматривая функцию (12.131)

и используя уравнения (12.130) или (12.132), а также уравнение объекта (12.149), можно получить характеристическое уравнение замкнутой оптимальной системы в виде

Корень, лежащий в левой полуплоскости,

Уравнение экстремали, проходящей через граничные точки,

Предварительно определив

из (12.149) можно найти, что управление должно изменяться по закону

Приняв за неизвестную, входящую в два уравнения (12.152) и (12.153), можно записать условие их совместности:

Отсюда получается уравнение регулятора

Первое слагаемое в правой части (12.154) соответствует собственно искомому оптимальному закону регулирования

Второе слагаемое в правой части (12.154) соответствует постоянному значению управления и которое необходимо искусственно создать на выходе регулятора, чтобы в замкнутой системе до момента времени е. при управляемая величина была бы равна заданному значению . Как следует из (12.154), при это постоянное управление снимается и система начнет приходить в согласованное положение.

Если при рассматриваемая система была выключена и имела рассогласование то слагаемое не нужно и формула (12.154) сводится к (12.155).

Рассмотренный пример относится к так называемому аналитическому конструированию регуляторов, которое будет изложено более подробно в § 12.10.