§ 8.9. Частотные критерии качества

Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.

Рис. 8.23.

Рис. 8.24.

Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса - устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 8.24, а) от точки Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

Для общего случая условной устойчивости, изображенного на рис. 8.24, а, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками , и, соответственно, двумя величинами, выраженными обычно

в децибелах:

Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше . В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 6 20 дб, что соответствует в линейном масштабе.

В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина так как

Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе где — аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному единице (точка на рис. 8.24, а):

сдвиг по фазе определяется условием

В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30-60°.

В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки и с на рис. 8.24, а), задают некоторую запретную область для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта запретная область окружает точку и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе и запаса устойчивости по модулю Р (рис. 8.24, б).

Рис. 8.25.

Недостатком рассмотренного критерия является то, что для определения запаса устойчивости необходимо задать два числа: В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по показателю колебательности. Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты амплитудной характеристики замкнутой системы (см. рис. 8.25) при начальной ординате, равной единице, т. е. относительная высота резонансного пика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнал на входе системы регулирования меняется по закону то регулируемая величина в режиме установившихся вынужденных колебаний будет меняться по закону Отношение амплитуд определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы:

— частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности (имеется в виду наибольший максимум)

Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяется посредством задания задающего воздействия . В принципе

возможно определение показателя колебательности системы посредством задания возмущающего воздействия и отыскания относительной величины резонансного пика.

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик. Допустимое значение показателя колебательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2 2,5.

Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.25) или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.25) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку на комплексную плоскость частотной передаточной функции разомкнутой системы. Для этого рассмотрим уравнение

Сделаем подстановки Тогда

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим

где

Это есть уравнение окружности с радиусом и с центром, смещенным влево от начала координат на величину С.

Задаваясь различными значениями М от 1 до можно построить семейство таких окружностей (рис. 8.26). На каждой окружности написано значение ординаты амплитудной частотной характеристики. При окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от нее на расстоянии 0,5. При окружность вырождается в точку, совпадающую с точкой

Для значений ординат амплитудной характеристики, лежащих в пределах получается семейство окружностей, расположенных справа от линии симметрично с первым семейством. При окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат.

Для построения амплитудной характеристики (рис. 8.25) достаточно в тех же координатах, где построены окружности нанести амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. Точки пересечения этой характеристики с окружностями будут определять точки амплитудной характеристики с соответствующими значениями ординат, равными М. Для определения показателя колебательности можно не строить амплитудную характеристику, так как достаточно знать одно максимальное значение ординаты Мтах, определяемое по наименьшей окружности которой коснется амплитудно-фазовая характеристика.

Если при проектировании системы ставится условие, чтобы ее показатель колебательности был не больше некоторого заданного значения, например Мщах то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитуднофазовая характеристика не заходила внутрь окружности, соответствующей этому значению М (рис. 8.27).

Рис. 8.26.

Амплитудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В этом случае показатель колебательности будет как раз равен заданному значению .

Таким образом, окружность является запретной зоной для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта зона охватывает точку и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости.

Рис. 8.27.

Рис. 8.28.

Величина показателя колебательности может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобразим запретную зону (рис. 8.27) на логарифмическую сетку. Рассмотрим отдельно окружность заданного показателя колебательности (рис. 8.28). На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соединяющий эту точку с началом координат. Установим для этого вектора связь между его модулем А и запасом по фазе Из треугольника по теореме

косинусов находим

Далее можно найти

и окончательно

Из рис. 8.28 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только для модулей, лежащих в пределах

В случае, когда или запас по фазе может быть любым, так как в этом случае конец вектора не может попасть в запретную зону (рис. 8.28).

Задаваясь различными значениями показателя а следовательно и по выражению (8.86) можно построить графики , которые носят название -кривых.

Рис. 8.29.

Эти графики строятся обычно таким образом, что модуль А откладывается в децибелах (рис. 8.29).

Из выражения (8.86) можно найти, в частности, максимальный запас по фазе обычным методом отыскания максимума:

Этот максимум получается, когда модуль . Если имеется построенная л. а. х. (рис. 8.30), то по имеющимся кривым и при заданном значении М можно построить требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля. Это построение должно делаться для модулей, лежащих в пределах (8.87). В результате будет получена запретная область для фазовой характеристики. Чтобы показатель колебательности был не больше заданного значения, фазовая характеристика не должна заходить в эту область.

Нетрудно видеть, что определение качественного показателя, характеризующего запас устойчивости, делается здесь одновременно с определением устойчивости.

Удобство показателя колебательности определяется также тем, что запас устойчивости характеризуется здесь одним числом, имеющим для сравнительно широкого класса систем регулирования сравнительно узкие пределы (1,1 1,5).

Оценка быстродействия может производиться по частотным характеристикам замкнутой и разомкнутой системы. При рассмотрении замкнутой системы обычно используется амплитудная частотная характеристика (рис. 8.25) или вещественная характеристика (рис. 8.6). Использование вещественной характеристики было рассмотрено выше (см. § 8.5).

Рис. 8.30.

Для оценки быстродействия по амплитудной частотной характеристике (рис. 8.25) могут использоваться следующие величины:

— резонансная частота, соответствующая пику — частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемая из условия

— частота среза, соответствующая условию А (сос) — эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая по выражению

где

Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис. 8.25), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля Понятие эквивалентной полосы пропускания тесно связано с вопросом пропускания системой помех, что будет рассмотрено в главе 11.

В отличие от показателя колебательности, который является некоторой безразмерной характеристикой и лежит в сравнительно узких пределах, приведенные выше характерные частоты, определяющие быстродействие системы, имеют размерность и их допустимые значения могут сильно меняться в зависимости от типа и назначения системы регулирования. Здесь наблюдается полная аналогия с критериями качества, основанными на рассмотрении кривых переходного процесса. Допустимое значение перерегулирования (рис. 8.3) лежит в сравнительно узких пределах для систем самого различного назначения, а допустимое время переходного процесса может меняться от долей секунды до нескольких часов и более.

Допустимые для данной системы регулирования значения сор, или должны устанавливаться для каждой конкретной системы на основе изучения условий ее эксплуатации. При этом характеризовать быстродействие системы может как вся совокупность указанных выше величин, так и каждая из них в отдельности.

При определении быстродействия по частотной передаточной функции разомкнутой системы может использоваться частота среза которая

определяется из условия равенства модуля единице или . Эта частота показана, например, на рис. 8.2 и 8.30.

Определение частоты среза разомкнутой системы может быть сделана на диаграмме, изображенной на рис. 8.26, по точке пересечения с окружностью единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат.

Резонансная частота замкнутой системы близка к частоте колебаний системы в переходном процессе. Значение может быть приближенно определено по точке (рис. 8.26), которая ближе всего расположена к точке

Рис. 8.31.

Частота среза во многих случаях близка к резонансной частоте системы

Удобной и наглядной мерой быстродействия системы является также частота сок (рис. 8.2), при которой задающее воздействие вида отрабатывается системой с амплитудой ошибки не более хтах.

Хотя приведенные выше частотные критерии запаса устойчивости и быстродействия могут рассматриваться независимо от свойств системы регулирования во временной области, представляется полезным провести некоторое приближенное сопоставление частотных и временных характеристик.

Если показатель колебательности то замкнутую систему регулирования можно аппроксимировать колебательным звеном (см. § 4.5). Тогда передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде

Для этой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которые определяют запас устойчивости: перерегулирование показатель колебательности М и запас устойчивости по фазе от параметра затухания . Соответствующие кривые приведены на рис. 8.31, а. На рис. 8.31, б дается зависимость между перерегулированием и показателем колебательности М для той же передаточной функции (8.90).

Кривые, приведенные на рис. 8.31, в некоторой мере характеризуют связь между показателями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90).

Так как резонансная частота приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе, то время достижения

первого максимума на переходной характеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости

Если переходный процесс в системе заканчивается за 1—2 колебания, то время переходного процесса можно определить по приближенной зависимости

Сравнение формул (8.71) и (8.89) показывает, что эквивалентная полоса пропускания совпадает с точностью до постоянного множителя с интегральной квадратичной оценкой определяемой формулами (8.67) и (8.68). Совпадение будет полным, если рассматривать всю эквивалентную полосу пропускания от — до и измерять ее в герцах. Тогда получаем