§ 12.6. Синтез систем автоматического регулирования на основе частотных критериев качества

Синтез систем автоматического регулирования методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним из самых удобных и наглядных. Наиболее трудным моментом при расчете методом логарифмических амплитудных характеристик является установление связи

показателей качества переходного процесса с параметрами желаемой л. а. х., что объясняется сравнительно сложной зависимостью между переходной характеристикой линейной системы и ее частотными свойствами. Задача построения желаемой л. а. х. значительно облегчается, если вместо оценки качества работы системы регулирования по ее переходной характеристике перейти к оценке качества непосредственно по ее частотным свойствам.

Для оценки качества любой системы регулирования, в том числе и следящей системы, необходимо знать ее точность, характеризуемую ошибками в некоторых типовых режимах, быстродействие, определяемое по способности системы работать при больших скоростях и ускорениях входного воздействия или по быстроте протекания переходных процессов, и запас устойчивости, показывающий склонность системы к колебаниям. В соответствии с этим можно говорить о критериях точности, критериях быстродействия и критериях запаса устойчивости. При использовании частотных критериев необходимо основываться на тех или иных частотных свойствах системы регулирования.

При оценке точности по ошибкам при воспроизведении гармонического входного воздействия одновременно можно оценить и быстродействие по частоте этого воздействия. Тогда критерий точности и критерий быстродействия сливаются в один критерий динамической точности системы регулирования.

Ниже будут рассмотрены методы расчета систем регулирования, основанные на использовании частотных критериев качества. При этом кривая переходного процесса может, вообще говоря, не рассматриваться и не использоваться. Однако в целях иллюстрации будут даны универсальные нормированные кривые переходных процессов при единичном входном воздействии для рассматриваемых типовых л. а. х.

В дальнейшем изложении будут как и ранее, рассматриваться линейные системы, состоящие из минимально-фазовых звеньев.

Под ошибкой следящей системы будет пониматься не действительное рассогласование между задающей и исполнительной осями, а только сигнал рассогласования, выявляемый чувствительным элементом системы. Это вызвано тем обстоятельством, что собственные ошибки чувствительных элементов, несмотря на их большой удельный вес в полной ошибке системы регулирования, не оказывают влияния на статический и динамический расчет последней и должны учитываться отдельно. Вопросы расчета ошибок чувствительных элементов относятся к сфере теории соответствующих устройств (сельсинов, вращающихся трансформаторов, потенциометров и т.п.).

Методика расчета излагается, в основном, применительно к» следящим системам воспроизведения угла и воспроизведения скорости. Однако эта методика применима и для других систем автоматического регулирования.

Требования к низкочастотной части желаемой л. а. х., связанные с необходимой точностью.

На основании требования по точности формируется низкочастотная часть желаемой л. а. х. следящей системы. Рассмотрим вначале астатические системы.

Наиболее просто оценить точность следящей системы можно по воспроизведению гармонического входного сигнала с амплитудой и частотой

Амплитуда ошибки может быть найдена с помощью модуля передаточной функции по ошибке;

где — частотная передаточная функция разомкнутой системы. Так как в подавляющем большинстве случаев амплитуда ошибки значительно

меньше амплитуды входного сигнала, т. е. справедливо соотношение Поэтому вместо (12.57) можно пользоваться приближенным выражением

Последнее выражение позволяет легко сформулировать требование к низкочастотной части л. а. х. следящей системы. Для того чтобы входное воздействие (12.56) воспроизводилось с ошибкой, не превышающей Фтах» л. а. х. системы должна проходить не ниже контрольной точки с координатами

Часто при определении условий работы следящей системы оговариваются только максимальная скорость йцпах и максимальное ускорение слежения. В этом случае можно подобрать эквивалентные режимы гармонического входного воздействия. Вначале найдем такой режим (12.56), при котором амплитуда скорости и амплитуда ускорения равны максимальным заданным значениям. Очевидно, что этому режиму соответствуют;

По этим величинам можно построить контрольную точку (рис. 12.11) в соответствии с (12.59).

Рис. 12.11.

Будем теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия, в котором амплитуда скорости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда ускорения меньше максимального. Тогда контрольная частота (12.60) будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда (12.61) возрастать обратно пропорционально амплитуде ускорения. При этом контрольная точка будет перемещаться влево по прямой, имеющей наклон 20 дб/дек. В предельном случае, если принять амплитуду ускорения равной нулю, контрольная частота . Это соответствует режиму вращения с постоянной скоростью Тогда формула (12.58) вырождается в известное соотношение

где — предельное значение добротности по скорости следящей системы с астатизмом первого порядка, ниже которого нельзя иметь реальную добротность по скорости, исходя из условий точности.

Если теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия с амплитудой ускорения, равной максимальному значению и амплитудой скорости, меньшей максимального значения то аналогичными рассуждениями можно показать, что контрольная точка (рис. 12.11) будет двигаться вправо по прямой, имеющей наклон 40 дб/дек. Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью нуля децибел равен предельной добротности следящей системы с астатизмом второго порядка

по ускорению

равной отношению ускорения к установившейся ошибке. Это будет при условии, что первая асимптота л. а. х. проектируемой следящей системы совпадает с прямой, по которой движется контрольная точка (рис. 12.11). Ниже этого предельного значения не может быть реальной добротности следящей системы с астатизмом второго порядка.

Область, расположенная ниже контрольной точки и двух прямых с наклонами 20 и 40 дб/дек, представляет собой запретную область для л. а. х. следящей системы с астатизмом любого порядка. При работе со скоростями и ускорениями, не превышающими значений йцпах и ошибки следящей системы не будут превосходить значения Фтах» если л. а. х. будут проходить не ниже запретной области.

Рис. 12.12.

Для входного воздействия вида (12.56) можно также ограничивать фазовую и относительную амплитудную составляющие ошибки. Для этого найдем находящуюся в фазе, и ошибку находящуюся в квадратуре по отношению к входному воздействию. Для этого на рис. 12.12 построим векторную диаграмму, из которой следует

где и V — вещественная и мнимая части частотной передаточной функции по ошибке. Фазовая ошибка следящей системы

и относительная амплитудная ошибка

В формулах и на рис. 12.12 величины представляют собой векторные изображения соответствующих гармонических функций времени

В большинстве случаев, аналогично изложенному выше, можно считать что и передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в области низких частот имеет вид

Тогда фазовая ошибка (при ) на основании (12.64)

и относительная амплитудная ошибка

Задание величины фазовой и относительной амплитудной ошибок определяет предельные положения первой и второй асимптот л. а. х., т. е. необходимые значения добротности по скорости и добротности по ускорению

Нетрудно видеть, что предельные положения асимптот и в этом случае формируют запретную зону для низкочастотной части л. а. х. вида, изображенного на рис. 12.11. Использование приведенных выше формул для формирования низкочастотной части л. а. х. возможно лишь в том случае, если двигатель в состоянии обеспечивать получение на исполнительной оси требуемых максимальных значений скорости и ускорения

При выборе всех приведенных выше формул предполагалось, что ошибка в системе определяется только наличием задающего воздействия При действии на систему возмущений, например момента нагрузки на оси двигателя, необходимо увеличение общего коэффициента усиления системы для того, чтобы результирующая ошибка не превосходила заданного значения. Более подробно это изложено, например, в [10].

В статических следящих системах установившаяся ошибка по управляющему воздействию может быть сделана равной нулю применением неединичной обратной связи (§ 9.3). Однако появление статической ошибки возможно при нестабильности общего коэффициента усиления. В соответствии с формулой (9.71) для рассматриваемого случая максимальное значение ошибки составит

где — относительное изменение коэффициента усиления разомкнутой цепи.

Из выражения (12.69) можно получить требуемые значения общего коэффициента усиления К или коэффициента ошибки

Пусть, кроме того, задано требуемое значение коэффициента ошибки являющегося коэффициентом пропорциональности между скоростью входного воздействия и ошибкой.

Примем, что в низкочастотной области частотная передаточная функция статической системы может быть сведена к выражению

Тогда коэффициент ошибки для этой передаточной функции будет равен

Отсюда может быть получена допустимая сумма двух постоянных времени:

Формулы (12.70) и (12.72) устанавливают требования к низкочастотной части желаемой л. а. х.

Если к проектируемой системе кроме задающего воздействия приложено возмущение, то в формуле для общего коэффициента усиления необходимо дополнительно учесть составляющую, определяемую этим возмущением. Пусть, например, статическая ошибка от возмущения определяется

формулой (8.4):

где — коэффициент статизма, а — постоянное возмущение.

Тогда вместо (12.69) можно записать

Отсюда находится требуемое значение общего коэффициента усиления:

В системах стабилизации ошибка определяется только наличием возмущения (или возмущений). В этом случае требование к низкочастотной части л. а. х. сводится к необходимости иметь определенное значение общего коэффициента усиления, вне зависимости от того, является ли система по виду передаточной функции статической или астатической.

Это значение общего коэффициента усиления будет определяться вторым слагаемым в правой части (12.74) или суммой подобных слагаемых при действии нескольких возмущений. По общему коэффициенту усиления может быть построена первая асимптота желаемой л. а. х.

Требования к запасу устойчивости.

В следящих системах повышение общего коэффициента усиления по разомкнутой цепи вызывает приближение к колебательной границе устойчивости. Это проявляется в увеличении колебательности системы. Для оценки запаса устойчивости, т. е. степени удаления от колебательной границы устойчивости, могут использоваться различные критерии, в том числе такие, как, например, перерегулирование при деиничном входном возмущении, запас устойчивости по амплитуде и по фазе и т. п.

При использовании частотных критериев качества наиболее удобно оценивать запас устойчивости по показателю колебательности М, который характеризует склонность системы к колебаниям (см. главу 8).

В астатических системах для замкнутой системы коэффициент передачи на нулевой частоте равен единице. Поэтому под показателем колебательности понимается абсолютное значение наибольшего максимума

Это положение остается справедливым и для статических систем, так как для исключения статической ошибки по задающему воздействию в них, как правило, используется масштабирование выходной величины посредством применения неединичной обратной связи (см. § 9.3) с коэффициентом кос Тогда коэффициент передачи замкнутой системы на нулевой частоте может быть сделан равным единице соответствующим выбором величины кос

где К — коэффициент усиления по разомкнутой цепи.

Отсюда находится требуемое значение коэффициента обратной связи:

Показатель колебательности соответствует очень хорошему демпфированию системы, при котором перерегулирования весьма

малы. Показатель колебательности обычно является вполне достаточным для большинства следящих систем. Во многих случаях следящие системы работают удовлетворительно и при значениях

Необходимым и достаточным условием того, чтобы в устойчивой системе показатель колебательности был не больше заданного, является нахождение фазовой характеристики вне запретной зоны (рис. 8.27). В минимальнофазовых системах это условие может быть выдержано соблюдением определенных правил построения л. а. х. без нахождения фазовой характеристики.

Рассмотрим принципы построения л. а. х. с заданным показателем колебательности. По методическим соображениям рассмотрение начнем со следящих систем с астатизмом второго порядка, хотя эти системы и не относятся к наиболее простым и распространенным.

Как правило, в качестве типовых используются л. а. х., имеющие в низкочастотной части наклон не более 40 дб/дек. Это вызвано стремлением избавиться от условий, при которых возможно появление неустойчивости в большом, т. е. при согласовании следящей системы с большого угла.

Типовые л. а. х. систем с астатизмом второго порядка.

В системах с астатизмом второго порядка обычно имеются два интегрирующих звена. Такими звеньями могут быть исполнительный и вспомогательный двигатели, например, гидромуфта и управляющий двигатель, поворачивающий шпиндель или чашу гидронасоса. В некоторых случаях астатизм второго порядка может появляться вследствие особенностей механических характеристик единственного исполнительного двигателя, у которого вращающий момент не зависит от скорости вращения.

Рис. 12.13.

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы вида

коэффициент усиления по разомкнутой цепи, называемый добротностью по ускорению.

Асимптотическая л. а. х., соответствующая (12.75), изображена на рис. 12.13. В соответствии с наклонами асимптот, кратными — 20 дб/дек, ей присвоен тип 2—1—2.

Положение всей л. а. х. может быть задано точкой пересечения первой асимптоты с осью нуля децибел. Этой точке соответствует частота

которую назовем базовой.

При введении новой переменной передаточная функция будет представлена в нормированном виде:

где — относительные постоянные времени.

Соответствующая нормированная л. а. х., построенная для относительной частоты изображена на рис. 12.14. Здесь же показаны для иллюстрации фазовая характеристика и запретная область для нее.

Протяженность участка с единичным наклоном, т. е. с отрицательным наклоном определяется отношением двух постоянных

времени:

Под протяженностью участка вдоль оси частот (рис. 12.14) понимается отношение частот конечных точек участка (большей к меньшей).

Запас по фазе для функции (12.77)

Исследование на максимум дает

Максимальный запас по фазе определяется только протяженностью h асимптоты л. а. х., имеющей единичный наклон.

Приравнивание максимальных запасов по фазе (8.88) и (12.81) дает зависимость между протяженностью участка h и показателем колебательности М при оптимальном выборе параметров, т. е. при совпадении максимумов реальной фазовой характеристики и запретной зоньр (рис. 12.14):

Рис. 12.14.

Эти формулы связывают протяженность участка h с минимальным значением показателя колебательности, который может быть получен при этой протяженности, или величину показателя колебательности М с минимальной протяженностью участка обеспечивающей этот показатель колебательности.

Из рис. 12.14 легко найти оптимальные параметры л. а. х.:

где У с соответствует модулю, а с — относительной частоте, при которых запас по фазе (в запретной области) получается максимальным — см. формулу (8.88);

Эти параметры соответствуют минимальному значению показателя колебательности при заданной протяженности участка

Следует заметить, что технически реализовать систему тем легче, чем меньше протяженность участка . Это связано с необходимостью подъема на этом участке верхних частот, что во многих случаях затруднено вследствие наличия в системе внешнех и внутренних высокочастотных помех. Поэтому с точки зрения оптимальности инженерного решения необходима

стремиться к реализации желаемых динамических качеств при минимальной требуемой протяженности участка h.

Для получения заданного показателя колебательности в замкнутой системе при фиксированной базовой частоте л. а. х. необходимо иметь следующие постоянные времени:

Вместо базовой частоты за точку, фиксирующую положение л. а. х. рис. 12.13 и 12.14), можно принять, например, точку пересечения второй асимптоты л. а. х. с осью децибел, которой соответствует частота соср Тогда вместо (12.86) и (12.87) получим выражения, которые при фиксированной частоте среза, а следовательно, и фиксированном положении запретной зоны для фазовой характеристики можно превратить в неравенства:

При равенстве левых частей правым показатель колебательности будет равен заданному значению М. При неравенстве левых и правых частей будет вводиться некоторый дополнительный запас устойчивости и показатель колебательности будет снижаться.

Эти формулы легко запоминаются, и они просто связаны с параметрами окружности — запретной зоны на комплексной плоскости (см. рис. 8.28).

Рис. 12.15.

В неравенство может быть превращена и формула (12.87).

Формулу (12.86) лучше иметь в виде равенства, так как увеличение по сравнению с тем, что дает формула, в некоторых случаях может привести к ухудшению запаса устойчивости.

При использовании типовой передаточной функции (12.75) может быть предусмотрен дополнительный запас устойчивости для возможности иметь в усилительном канале некоторое количество не учитываемых при расчете малых постоянных времени. Дополнительный запас устойчивости создается уменьшением величины постоянной времени или, соответственно,

чтобы отодвинуть фазовую характеристику от запретной области (рис. 12.15).

На малые постоянные времени отводится обычно несколько градусов запаса по фазе. Так, например, в [10] предлагается отводить на эти цели величину, соответствующую сумме малых постоянных.

а число малых постоянных времени принимать равным 4-6. Тогда граница малых постоянных времени определяется значением

Если некоторая постоянная времени дает сопрягающую частоту которая больше граничной частоты (рис. 12.15)

то эта постоянная может не учитываться при расчете.

Расчетная формула для определения допустимого значения постоянной времени при этом сохраняется, а вместо формулы (12.87) должно использоваться выражение

В более сложном случае передаточная функция разомкнутой системы может иметь произвольное число постоянных времени, входящих в ее знаменатель:

Этой передаточной функции соответствует л. а. х. типа

Расчеты и здесь оказываются достаточно простыми. Для получения заданного показателя колебательности необходимо выполнение условия (12.86) для постоянной времени Сумма всех остальных постоянных времени включая малые постоянные времени, должна удовлетворять неравенству

При использовании расчета по частоте среза для постоянной времени: должно выполняться условие (12.88), а для суммы остальных постоянных времени — условие

В л. а. х. подобного типа легко учесть наличие звеньев постоянного запаздывания . В этом случае время запаздывания должно учитываться при подсчете суммы постоянных времени

Возможен случай, когда в передаточную функцию разомкнутой системы входит множитель, соответствующий колебательному звену с комплексными корнями:

Допустить наличие такого множителя можно в том случае, если частота свободных колебаний звена значительно больше базовой частоты:

Асимптотическая л. а. х. для этого случая изображена на рис. 12.16.

При выполнении условия (12.98) фазовый сдвиг, вносимый колебательным звеном в районе максимального запаса по фазе, можно принять равным . Поэтому коэффициент а должен входить в общую сумму постоянных времени (12.95) или (12.96).

Для того чтобы избежать появления второй запретной зоны в районе пика л. а. х. при (рис. 12.16), необходимо выполнение дополнительного условия, которое вытекает из неравенства (8.87):

Выполнение этого условия может быть легко проверено при построении л. а. х.

Более подробно этот вопрос рассмотрен для случая гироскопических следящих систем в [10].

Предельным случаем л. а. х. типа 2—1—2 или типа 2—1—2—3 является л. а. х. типа 2—1 (рис. 12.17), соответствующая случаю, когда

Рис. 12.16.

Рис. 12.17.

Тогда передаточная функция разомкнутой системы (12.94) приобретает вид

Передаточная функция подобного вида соответствует изодромному регулированию. Она может встречаться, например, в сглаживающих системах различного типа, построенных на электромеханических, электронных, гироскопических и тому подобных интеграторах.

Показатель колебательности для подобной передаточной функции может быть определен прямым отысканием максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Подстановка (12.100) и исследование получившегося выражения на максимум дает следующее условие, которое должно быть выполнено, чтобы показатель колебательности не превышал заданного значения:

или, в другом виде (при условии, что ),

Типовые л. а. х. систем с астатизмом первого порядка.

Следящие системы с астатизмом первого порядка представляют собой наиболее распространенный тип систем, содержащих одно интегрирующее звено —

исполнительный двигатель. В простейшем случае, когда следящая система состоит из безынерционного усилителя и исполнительного двигателя с постоянной времени и не имеет дополнительных корректирующих средств, кроме, возможно, жесткой тахометрической обратной связи, передаточная функция разомкнутой системы может быть сведена к виду

Асимптотическая л. а. х. типа 1—2, соответствующая этой передаточной функции, изображена на рис. 12.18.

Рис. 12.18.

Определение допустимого значения постоянной времени может быть сделано прямым нахождением максимума амплитудной частотной характеристики замкнутой системы

Подставляя (12.102) и исследуя получившееся выражение на максимум, можно найти условие того, чтобы показатель колебательности не превышал заданного значения:

Последняя формула позволяет при заданном значении постоянной времени исполнительного двигателя легко определять максимальное значение добротности по скорости, которое можно иметь в следящей системе при данном значении показателя колебательности.

При заданном значении требуемой добротности по скорости эта же формула позволяет определять допустимое значение постоянной времени исполнительного двигателя и необходимый коэффициент усиления по петле жесткой тахометрической обратной связи, служащей для снижения постоянной времени двигателя. Определение коэффициента усиления для тахометрической обратной связи может производиться по формуле

— постоянная времени исполнительного двигателя, кос — коэффициент усиления по петле тахометрической обратной связи.

В более сложном случае передаточная функция (12.102) может быть представлена в виде

Этой функции соответствует л. а. х. типа

Здесь может быть получена приближенная формула, ориентировочно связывающая сумму всех постоянных времени с добротностью по скорости:

при

Приближенная формула (12.105) становится точной при и любом числе постоянных времени либо при наличии только одной постоянной времени и любом значении М. В последнем случае она вырождается в формулу (12.103). При значениях мало отличающихся от единицы, например

при М 1,3, формула (12.105) является достаточно точной и может использоваться для расчета при наличии любого числа постоянных времени, а также при наличии временного запаздывания которое должно учитываться в общей сумме постоянных времени.

Л. а. х. рассмотренного типа может использоваться в простейших следящих системах с невысокими требованиями в отношении статической и динамической точности. При невозможности удовлетворить требованиям технического задания приходится переходить к более сложным типам л. а. х. На рис. 12.19 изображена асимптотическая л. а. х. типа Она может быть получена из соответствующей л. а. х. типа системы с астатизмом второго порядка (рис. 12.16) добавлением одного излома при сопрягающей частоте

Рис. 12.19.

Этой л. а. х. соответствует передаточная функция разомкнутой системы

Так как обычно сопрягающая частота значительно отличается от частоты в зоне максимума требуемого запаса по фазе, то с большой степенью точности расчет можно вести по формулам, полученным в предыдущем параграфе для систем с астатизмом второго порядка. В этом случае положение л. а. х., изображенной на рис. 12.19, определяется базовой частотой

В соответствии с формулами (12.86) и (12.95) имеем

или в соответствии с формулами (12.88) и (12.96)

Для уточнения расчета можно учесть то обстоятельство, что по сравнению с системой, имеющей астатизм второго порядка, здесь имеется дополнительный запас по фазе

Это позволяет немного увеличить допустимую сумму постоянных времени, которым соответствуют сопрягающие частоты правее частоты среза (формулы (12.95) и (12.96)), или немного уменьшить постоянную времени (формулы (12.86) и (12.88)). Однако подобное уточнение обычно не имеет практического значения [10] и почти всегда с достаточной степенью точности можно вести расчет параметров л. а. х. типа по формулам,

которые были получены для системы с астатизмом второго порядка (л. а. х. типа ).

Типовые л. а. х. статических систем.

В простейшем случае передаточная функция разомкнутой статической системы имеет вид

где К — коэффициент усиления разомкнутой системы.

Соответствующая асимптотическая л. а. х. типа изображена на рис. 12.20.

Рис. 12.20.

Рис. 12.21.

В районе пересечения л. а. х. оси нуля децибел передаточная функция может быть приближенно сведена к передаточной функции системы с астатизмом первого порядка

где базовая частота л. а. х.

Это дает возможность использовать полученную выше формулу (12.103) для л. а. х. типа 1—2 (рис. 12.18) при замене на Тогда можно полу чить условие обеспечения заданного показателя колебательности

Для передаточной функции более сложного вида

аналогично (12.105) имеем

Из этих формул видно значение первой большой постоянной времени как фактора, увеличивающего запас устойчивости системы. Повышение коэффициента усиления или повышение суммы остальных постоянных времени при заданном показателе колебательности может быть сделано при одновременном увеличении постоянной времени

Отклонение передаточной функции (12.109) от более точного выражения (12.108) в области низких частот дает некоторое увеличение запаса устойчивости, т. е. уменьшение колебательности. Учет этого обстоятельства обычно нецелесообразен ввиду незначительности получаемого эффекта [10].

При повышенных требованиях по статической и динамической точности могут применяться л. а. х. типа (рис. 12.21), образованные

из л. а. х. типа 2-1-2-3... (рис. 12.13) систем с астатизмом второго порядка.

Таким л. а. х. соответствует передаточная функция разомкнутой системы

Как и в случае систем с астатизмом первого порядка, здесь можно с достаточной степенью точности пользоваться универсальными формулами (12.86) — (12.89) и (12.95), (12.96).

Учет звеньев постоянного запаздывания и колебательных звеньев а также введенйе границы малых постоянных времени может делаться аналогично изложенному выше.

Переходные процессы, соответствующие типовым л. а. х.

Для л. а. х. типа 2—1—2 можно показать, что при заданной протяженности h асимптоты с единичным наклоном (рис. 12.13) выбор параметров, при котором обеспечивается минимальное значение показателя колебательности (12.83), вместе с тем соответствует некоторому оптимальному протеканию переходных процессов. При этом будет иметь место максимальное приближение кривой переходного процесса к некоторой экстремали, которая является экспонентной с постоянной времени

Рис. 12.22.

Чем больше протяженность участка тем меньше показатель колебательности и тем более благоприятным будет протекание переходного процесса, так как постоянная времени экспоненты будет меньше.

Определим вид переходного процесса при единичном входном воздействии для случая использования л. а. х. типа 2—1—2 (рис. 12.13).

Для нормированной передаточной функции (12.77) изображение Лапласа выходной величины будет иметь вид

Задаваясь различными значениями показателя колебательности, можно найти относительные постоянные времени и затем построить переходный процесс для выходной величины в функции безразмерного времени Переходные характеристики показаны на рис. 12.22.

Таблица 12.7. Параметры переходных процессов

Параметры переходных процессов — перерегулирование и относительное время переходного процесса для приведены в табл. 12.7.

Хотя эти кривые переходных процессов соответствуют л. а. х. типа 2—1—2 системы с астатизмом второго порядка (рис. 12.13), они с большой степенью точности могут использоваться для оценки переходных процессов при использовании л. а. х. других типов,

изображенных, например, на рис. 12.16, 12.19 и 12.21, для которых характерным является наличие участка с наклоном -20 дб/дек в районе пересечения оси частот.

Различие будет наблюдаться в начальной части, если высокочастотная часть л. а. х. отличается от высокочастотной части л. а. х. типа 2—1—2, и в конечной части, если будут отличаться их низкочастотные части.

Таким образом, в случае нужды оценка переходных процессов может делаться по универсальным кривым, приведенным на рис. 12.22, во всяком случае для средней части кривой переходного процесса, которая показывает степень склонности системы к колебаниям.

В тех случаях, когда л. а. х. не имеет специального участка с наклоном — 20 дб/дек при переходе оси частот (см., например, рис. 12.18 и 12.20), оценка переходных процессов может быть сделана следующим образом.

Рис. 12.23.

В качестве исходной примем л. а. х. типа 1—2 (рис. 12.18). Ей соответствует передаточная функция (12.102). Вводя единичное ступенчатое воздействие можно аналогично изложенному выше построить нормированные переходные процессы в функции безразмерного времени (рис. 12.23). Здесь в качестве принята частота пересечения асимптоты, имеющей наклон — 20 дб/дек, с осью частот (рис. 12.18).

Эти же кривые переходного процесса могут использоваться для оценки переходного процесса в случае использования л. а. х. другого типа, например 1—2—3 или (рис. 12.20). Как и в предыдущем случае, различие может наблюдаться только в начальной и конечной стадиях переходного процесса.

Построение низкочастотной области желаемой л. а. х.

Построение желаемой л. а. х. начинается с низкочастотной области. Из условий требуемой точности работы определяется положение контрольной точки или запретной области (см. рис. 12.11). Низкочастотная часть л. а. х. должна проходить не ниже контрольной точки или так, чтобы не заходить в запретную область.

В следящих системах с астатизмом второго порядка положение первой низкочастотной асимптоты, имеющей наклон определяется совершенно однозначно. Из условий облегчения задачи демпфирования выгодно сдвигать эту асимптоту как можно более влево, т. е. в сторону низких частот. Очевидно, что предельное положение первой асимптоты будет в том случае, когда она или пройдет через контрольную точку или сольется с правой границей запретной области (рис. 12.24).

Необходимое значение базовой частоты л. а. х. и необходимый коэффициент усиления по разомкнутой цепи следящей системы определяются

из выражения (12.63):

В следящих системах с астатизмом первого порядка необходимо определить положение двух первых асимптот, что можно сделать различным образом в зависимости от выбранного значения первой сопрягающей частоты

Рис. 12.24.

Если принять, что первая сопрягающая частота больше контрольной частоты сок не менее чем в 2—3 раза, то первые две асимптоты можно расположить так, чтобы через контрольную точку А к прошла первая асимптота (рис. 12.25, а).

Рис. 12.25.

При этом коэффициент усиления по разомкнутой цепи или добротность по скорости будет иметь минимальную возможную величину, равную предельному значению, определяемому из (12.62):

что является благоприятным. Однако частота точки пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел будет значительно больше минимального достижимого значения, определяемого по требуемому предельному коэффициенту усиления по ускорению (12.63). Это является нежелательным, так как веял. а. х. будет сдвигаться в область более высоких частот, что затрудняет демпфирование вследствие относительного возрастания влияния всех постоянных времени системы.

Если теперь принять, что первая сопрягающая частота меньше контрольной частоты сок по крайней мере в 2—3 раза, то первые две асимптоты

можно расположить так, чтобы через контрольную точку прошла вторая асимптота (рис. 12.25, б). При этом частота пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел будет иметь минимальную возможную величину, определяемую предельным значением добротности по ускорению (12.63), что является благоприятным с точки зрения облегчения демпфирования системы. Однако при этом требуемый общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи будет в 2—3 раза превышать минимальное возможное значение, определяемое формулой (12.62). Увеличение общего коэффициента усиления может неблагоприятным образом сказаться на возрастании влияния помех и наводок на входе. Поэтому выбор того или иного расположения низкочастотной части л. а. х. относительно контрольной точки должен определяться конкретными условиями.

При отсутствии преобладания того или иного фактора оптимальным следует считать такое расположение низкочастотных асимптот (рис. 12.25, в), при котором первая сопрягающая частота совпадает с контрольной частотой сок.

Так как истинная л. а. х. в точке проходит ниже точки пересечения двух асимптот на 3 дб, или на то вся л. а. х. при сок должна быть поднята вверх на 3 дб. При этом требуемое значение коэффициента усиления

Точке пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел соответствует частота

В статических следящих системах, а также в системах стабилизации построение низкочастотной части делается в соответствии с формулами (12.69)-(12.74).

Построение средне- и высокочастотной частей л. а. х.

В системах с астатизмом второго порядка (рис. 12.24) необходимо осуществить типовой переход оси нуля децибел в соответствии с рис. 12.13. При этом известно значение базовой частоты

Требуемое значение постоянной времени определяется формулой (12.86).

Среднечастотной части л. а. х. соответствует асимптота с единичным наклоном, проходящая в интервале амплитуд

или в интервале частот

Часть л. а. х., лежащая правее частоты среза, может иметь, вообще говоря, произвольный вид, определяемый имеющимися в системе звеньями. Однако в соответствии с изложенным выше необходимо выполнение следующих условий.

1. Высокочастотная часть л. а. х. не должна заходить в запретную область, образованную асимптотой с единичным наклоном, пересекающей ось нуля децибел в точке соср, и горизонтальной прямой, соответствующей

2. Сумма постоянных времени и коэффициентов при операторе в первой степени передаточных функций колебательных звеньев не должна превышать значения (12.95):

При построении желаемой л. а. х. в высокочастотной области вначале можно ориентироваться на наиболее простой ее вид и сформулировать ее при помощи одной асимптоты с наклоном положение которой определяется постоянной времени

Эта л. а. х. показана в высокочастотной части на рис. 12.24 пунктирной линией. Она соответствует типу 2—1—2. При дальнейшем расчете вид высокочастотной части л. а. х. может уточняться. Однако два сформулированных выше условия не должны нарушаться. В окончательном виде высокочастотная часть л. а. х. может иметь произвольный вид, например показанный сплошной линией на рис. 12.24.

В следящих системах с астатизмом первого порядка необходимо вначале проверить возможность сведения желаемой л. а. х. к типу 1—2 или ее модификациям Для этого необходимо исследовать возможность доведения суммы всех постоянных времени до значения, определяемого формулой (12.105):

При отрицательном ответе необходимо сформировать переход оси нуля децибел асимптотой с единичным наклоном так, как показано на рис. 12.25. Весь расчет ведется аналогично изложенному выше для следящих систем с астатизмом второго порядка.

Исходные данные для расчета — базовая частота и постоянная времени — известны по построению низкочастотной части л. а. х. (см. рис. 12.25).

Для статических систем расчет ведется аналогично расчету систем с астатизмом первого порядка. Вначале необходимо проверить возможность использования л. а. х. типа (рис. 12.20) или ее модификации по формуле (12.113). При отрицательном ответе необходимо сформировать переход оси нуля децибел аналогично рис. 12.24 и 12.25.

Расчет корректирующих (демпфирующих) средств.

По наиболее простой схеме расчета следящих систем корректирующие средства определяются сравнением желаемой передаточной функции с передаточной функцией системы без корректирующих средств или сравнением л. а. х., соответствующих этим передаточным функциям.

Часто эта схема расчета оказывается слишком упрощенной, что затрудняет ее использование. Это объясняется главным образом трудностью непосредственного перехода в сложных случаях от имеющейся передаточной функции к желаемой, а также тем обстоятельством, что формирование высокочастотной части л. а. х. может быть выполнено многозначно. Если вид желаемой л. а. х. в низкочастотной части является вполне определенным, то для ее высокочастотной части могут быть сформулированы лишь общие требования в отношении допустимой суммы постоянных времени и отсутствия пиков, заходящих в запретную зону (см. рис. 12.24).

Поэтому более гибкой оказывается схема расчета, при которой построение желаемой л. а. х. и расчет корректирующих средств, обеспечивающих получение желаемой л. а. х., делаются в два этапа.

На первом этапе расчета на основании требований к точности строится желаемая л. а. х. и рассчитываются корректирующие средства, формирующие ее в низкочастотной части. При этом будет получена некоторая промежуточная система, имеющая требуемую точность, но не имеющая, возможно, требуемого запаса устойчивости.

В некоторых случаях возможно сформирование одновременно с низкочастотной частью л. а. х. ее средне-, а в простейших случаях и высокочастотной частей.

На втором этапе расчета уточняется вид и рассчитываются параметры корректирующих средств, формирующих средне- и высокочастотную части л. а. х. В результате должна быть получена система, обеспечивающая не только требуемую точность в типовых режимах, но и имеющая необходимый запас устойчивости.